matrices

<!--latex-->Bonsoir
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<BR>Je bloque à ce problème, pouvez-vous me donner une piste ?
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<BR>Soient <IMG WIDTH="36" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img1.png&quot; ALT="$ A, B$"> appartenant à <!-- MATH $M_n(\mathbb{C})$ --><IMG WIDTH="52" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img2.png&quot; ALT="$ M_n(\mathbb{C})$"> deux matrices semblables. Montrer que <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img3.png&quot; ALT="$ A$"> et <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img4.png&quot; ALT="$ B$"> ont le même polynôme caractéristique.
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<BR>Soit <IMG WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img5.png&quot; ALT="$ X_a$"> le polynôme caractéristique de <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img3.png&quot; ALT="$ A$"> et <IMG WIDTH="24" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img6.png&quot; ALT="$ X_b$"> de <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img4.png&quot; ALT="$ B$">, j'ai :
<BR><!-- MATH $X_a(A)=X_a(PBP^{-1})=PX_a(B)P^{-1}=0$ --><IMG WIDTH="297" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img7.png&quot; ALT="$ X_a(A)=X_a(PBP^{-1})=PX_a(B)P^{-1}=0$">
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<BR>Soit <IMG WIDTH="23" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img8.png&quot; ALT="$ U_a$"> le polynôme minimal de <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img3.png&quot; ALT="$ A$"> et <IMG WIDTH="21" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img9.png&quot; ALT="$ U_b$"> celui de <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img4.png&quot; ALT="$ B$">, j'ai :
<BR><!-- MATH $U_a(A)= U_a(PBP^{-1})=PU_a(B)P^{-1}=0$ --><IMG WIDTH="290" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/06/26/62427/cv/img10.png&quot; ALT="$ U_a(A)= U_a(PBP^{-1})=PU_a(B)P^{-1}=0$">
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<BR>et plus rien...<BR>

Réponses

  • Bonsoir

    Je bloque à ce problème, pouvez-vous me donner une piste ?

    Soient $A, B$ appartenant à $M_n(\C)$ deux matrices semblables. Montrer que $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique.

    Soit $X_a$ le polynôme caractéristique de $A$ et $X_b$ de $B$, j'ai :
    $X_a(A)=X_a(PBP^{-1})=PX_a(B)P^{-1}=0$

    Soit $U_a$ le polynôme minimal de $A$ et $U_b$ celui de $B$, j'ai :
    $U_a(A)= U_a(PBP^{-1})=PU_a(B)P^{-1}=0$

    et plus rien...
  • Je ne vois pas ce que viens faire le polynome minimal ici...
    il suffit que tu écrives la définition du polynome caractéristique de A, puis de B et ensuite faire intervenir dans cette deuxième équation le fait que les deux matrices sont semblables.
  • Bonsoir Novo,

    Remarque que le polynôme caractéristique est $X_a(x) = \det(A-xI)$
    Mais $A-xI = P(B-xI)P^{-1}$ et le $\det$ d'un produit est le produit des $\det$ etc...

    Alain
  • Pour novo:

    Indication: on rappelle que GLn(R) est dense dans Mn(R).
  • merci beaucoup
  • Mon indication ne servait à rien au temps pour moi
  • je veux bien d'aider mais mon niveau est encore tres bas par rapport au tien.je te donne rdv dans 6 mois maxi!!!(MATHEMATHIQUES 1ere année univ Yaounde 1)
  • Euh malheureusement, 6 mois ne suffiront pas avant de voir ce qu'est le polynome caracteristique d'une matrice.
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