Formule pour un nombre de rencontres
Bonjour
Exemple avec 6 joueurs numérotés 1 à 6.
Lors de chaque RENCONTRE, deux joueurs s'affrontent et tous les joueurs jouent, ce qui fait 3 matchs à chaque rencontre. Combien de RENCONTRES a-t-on au maximum en tout pour qu'à chaque rencontre chaque joueur rencontre toujours un nouveau joueur ?
Voici les rencontres explicitement données :
RENCONTRE 1 :
1-2 ; 3-4 ; 5-6
RENCONTRE 2
1-3 ; 2-5 ; 4-6
RENCONTRE 3
1-4 ; 2-6 ; 3-5
RENCONTRE 4
1-5 ; 2-4 ; 3-6
RENCONTRE 5
1-6 ; 2-3 ; 4-5
Il y a donc 5 RENCONTRES quand on a 6 joueurs.
En généralisant à n joueurs, il y aurait donc n-1 RENCONTRES, mais je n'arrive pas à le prouver à l'aide de formules.
Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance !
Riki
Exemple avec 6 joueurs numérotés 1 à 6.
Lors de chaque RENCONTRE, deux joueurs s'affrontent et tous les joueurs jouent, ce qui fait 3 matchs à chaque rencontre. Combien de RENCONTRES a-t-on au maximum en tout pour qu'à chaque rencontre chaque joueur rencontre toujours un nouveau joueur ?
Voici les rencontres explicitement données :
RENCONTRE 1 :
1-2 ; 3-4 ; 5-6
RENCONTRE 2
1-3 ; 2-5 ; 4-6
RENCONTRE 3
1-4 ; 2-6 ; 3-5
RENCONTRE 4
1-5 ; 2-4 ; 3-6
RENCONTRE 5
1-6 ; 2-3 ; 4-5
Il y a donc 5 RENCONTRES quand on a 6 joueurs.
En généralisant à n joueurs, il y aurait donc n-1 RENCONTRES, mais je n'arrive pas à le prouver à l'aide de formules.
Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance !
Riki
Réponses
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Bonsoir,
Soit $n \in \N^*.$
Organiser un tournoi opposant $2n$ joueurs de manière à ce que chaque concurrent rencontre exactement une fois chacun de ses adversaires peut se faire selon le calendrier suivant, comportant $2n-1$ "sessions", $J_1,J_2...J_{2n-1}$ où, durant chacune d'entre elles, $n$ matchs où interviennent les $2n$ protagonistes sont au programme.
Les compétiteurs étant numérotés de $1$ à $2n,\quad \forall k \in [\![1;2n-1]\!],$ l'ensemble des matchs prévus pour la session $J_k$ est:
$$\boxed{\mathcal J_k = \{(k,2n)\} \bigcup \Big\{ (\overline{k+s}, \overline {k-s}) \mid s \in [\![1;n-1]\!] \Big\},}\quad$$
où $\forall a \in \Z, \: \overline a$ est défini par $1\leqslant \overline a \leqslant 2n-1$ et $\:\:\overline a \equiv a \mod 2n-1.$
Ainsi, pour $n=4$ cela donne: $\quad \quad\begin{align*} \mathcal J_1= \{ 18, 27, 36,45 \} \\\mathcal J_2 = \{28, 31,47,56 \}\\ \mathcal J_3= \{38,42, 51,67 \} \\ \mathcal J_4 = \{48,53,62,71\}\\ \mathcal J_5 = \{58,64,73,12\} \\ \mathcal J_6 = \{ 68,75,14,23 \} \\ \mathcal J_7 = \{ 78,16,25,34\} \end {align*}$
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Bonjour!
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