Théorème de Birkhoff et changement d'indice
Soit $(X, \mu)$ un espace probabilisé ($\mu(X) = 1$) et $\Phi : X\to X$ une application préservant la mesure (ie $\mu(A)= \mu (\Phi^{-1}(A)) $). Si l'on se donne une fonction $f \in L^1(X)$ le théorème de Birkhoff nous dit qu'il existe une fonction $g\in L^1(X)$ telle que \[
S_n :=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \circ \Phi^k \xrightarrow[n\to \infty]{} g \; \mu \text{-pp }
\] et de plus $\int g d \mu = \int f d \mu$. En écrivant $S_{n+1}=\frac{n}{n+1}S_n + \frac{1}{n+1}f\circ T^{n+1}$ et comme la suite converge presque partout on en déduit que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ presque partout. On peut donc sommer pour $k$ allant de $1$ à $n$ et les conclusions du théorème de Birkhoff restent vraies.
Ma question est la suivante : comment démontrer que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ $\mu$-pp de façon élémentaire ? Ou en tout cas sans utiliser le théorème de Birkhoff. J'ai trouvé une démonstration sans utiliser Birkhoff mais j'ai l'impression de rater quelque chose et qu'on pourrait faire plus simple. Voici ma démonstration.
On peut supposer $f$ positive (ou bien considérer la fonction $|f|$, cela revient au même). D'après le principe de Cavalieri on a \[
\int_X f d \mu = \int_{\R_+} \mu (f^{-1}([t; + \infty [)) dt <\infty
\] et comme la fonction $t\mapsto \mu (f^{-1}([t; + \infty [)) $ est décroissante une comparaison série/intégrale donne \[
\sum_{n=1}^\infty \mu (f^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)) < \infty
\] pour tout $\varepsilon >0$. Puisque $\Phi$ préserve la mesure on a aussi \[
\sum_{n=1}^\infty \mu ((f\circ T^n)^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)) < \infty
\] et par Borel-Cantelli on en déduit que la lim sup des ensembles $(f\circ T^n)^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)$ est de mesure nulle pour tout $\varepsilon >0$. Ceci revient exactement à dire que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ presque partout.
S_n :=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \circ \Phi^k \xrightarrow[n\to \infty]{} g \; \mu \text{-pp }
\] et de plus $\int g d \mu = \int f d \mu$. En écrivant $S_{n+1}=\frac{n}{n+1}S_n + \frac{1}{n+1}f\circ T^{n+1}$ et comme la suite converge presque partout on en déduit que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ presque partout. On peut donc sommer pour $k$ allant de $1$ à $n$ et les conclusions du théorème de Birkhoff restent vraies.
Ma question est la suivante : comment démontrer que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ $\mu$-pp de façon élémentaire ? Ou en tout cas sans utiliser le théorème de Birkhoff. J'ai trouvé une démonstration sans utiliser Birkhoff mais j'ai l'impression de rater quelque chose et qu'on pourrait faire plus simple. Voici ma démonstration.
On peut supposer $f$ positive (ou bien considérer la fonction $|f|$, cela revient au même). D'après le principe de Cavalieri on a \[
\int_X f d \mu = \int_{\R_+} \mu (f^{-1}([t; + \infty [)) dt <\infty
\] et comme la fonction $t\mapsto \mu (f^{-1}([t; + \infty [)) $ est décroissante une comparaison série/intégrale donne \[
\sum_{n=1}^\infty \mu (f^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)) < \infty
\] pour tout $\varepsilon >0$. Puisque $\Phi$ préserve la mesure on a aussi \[
\sum_{n=1}^\infty \mu ((f\circ T^n)^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)) < \infty
\] et par Borel-Cantelli on en déduit que la lim sup des ensembles $(f\circ T^n)^{-1}([n\varepsilon; + \infty [)$ est de mesure nulle pour tout $\varepsilon >0$. Ceci revient exactement à dire que $\frac{1}{n} f \circ T^n$ converge vers $0$ presque partout.
Réponses
-
Bonsoir,
juste pour savoir T est ?
je tente quelque chose:
je présume que cela préserve la mesure,
donc $\frac{1}{n} f \circ T^n $ est majorée par $f \circ T^n$ qui est intégrable
Soit $ A$ avec $A$ de mesure finie $| \frac{1}{n} f \circ T^n(A)| \leq \frac{1}{n} |f(A)| \leq \frac{1}{n}|f|(X) \mu(A)$
le dernier membre tend vers 0 pour n grand
est ce que ça suffit ? -
@Corto: je ne pense pas qu'on puisse faire vraiment plus simple; la preuve paraitrait en réalité plus simple si tu ne revenais pas à zéro et/ou que utilisais le formalisme probabiliste.
Voici une rédaction possible:
Posons $X_n=f\circ T^n$. $T$ préserve la mesure, donc les $X_n$ ont la même loi.
Pour $\epsilon>0$, on a $\mu(|\frac{X_n}n|>\epsilon)=\mu(|\frac{X_1}n|>\epsilon)=\mu(\frac{|X_1|}{\epsilon}>n)$.
Or, la variable $\frac{|X_1|}{\epsilon}$ est positive intégrable, donc la série de terme général $\mu(\frac{|X_1|}{\epsilon}>n)$ converge. Ainsi $X_n/n$ converge presque complètement, donc presque sûrement vers $0$. -
Bonsoir
Mais juste pour savoir. Dans ce que j'ai écrit qu'est ce qui est faux ?
Et si c'est vrai au mieux qu'ai-je montré ? Et où me suis je trompe ?
Il y a quand même quelque chose qui tend vers 0 indépendamment du choix du borélien ? Ou bien tout est faux ? -
@callipiger. Je suppose que $f(A)$ est l'intégrale de $f$ sur $A$ ?
$A$ ne sert à rien, tu peux prendre $A=\Omega$. En gros, tu as montré la convergence dans $L^1$ vers $0$. -
Ok merci Aléa. En y réfléchissant c'est vrai que l'on a pas besoin d'en revenir à Cavalieri pour savoir que la série converge. Je n'avais jamais entendu parlé de convergence presque complète.
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