Fourier, question simple

Bonjour
a) Si $f$ est continue (et $2\pi$-périodique), alors $\sigma_n$ tend uniformément vers $f$.
b) Si elle a quelques points de discontinuité (un nombre fini ?) alors pour tout $x$, $\sigma_n(x)$ tend vers $\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$
Je n'arrive pas à voir clairement si dans le cas b), la convergence est uniforme. Ça paraît pourtant simple ?

[Même dans le titre Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • Une limite uniforme de fonctions continues est...
  • Oui désolé c'était si évident.
  • C'est quoi $\sigma_n$ ? La série de Fourier ne converge pas forcément quand $f$ est seulement continue (par morceau), tu dois ajouter des hypothèses plus fortes style Hölder continuité (par morceau). Les formes régularisées de la série de Fourier (style noyau de Fejér) convergent vers $f$.
  • Dans le cas $b)$ a-t-on le droit de dire que la série de Fourier de $f$ est continue par morceaux ? Si oui ses points de discontinuité sont-ils les points de discontinuité de $f$ ?
  • Est-ce que la série de Fourier de $f$ converge, dans quel espace
  • Elle converge dans l'espace de Dirichlet, l'espace niveau $L_2$ (licence pas carré intégrable :-) )
  • Elle converge vers $f$ dans $L^2$ donc dans cet espace elle est égale à une fonction continue par morceau, ça ne nous dit rien des $x$ où $\sum_n c_n(f) e^{i n x}$ converge et si la limite est continue en $x$.

    Dans $L^2$ la fonction $h$ qui vaut $1$ pour $x$ rationnel et $0$ sinon est égale à la fonction nulle, donc dans $L^2$, $h$ est constante continue $C^\infty$..
  • reuns a écrit:
    Dans $L^2$ la fonction $h$ qui vaut $1$ pour $x$ rationnel et $0$ sinon est égale à la fonction nulle,

    Pourquoi ?
  • C'est quoi la définition de $f=g$ dans $L^2$ ?
  • Aucune idée :-) je vais me renseigner.
    Sans réfléchir : $$\int_I f^2 = \int_I g^2 $$ pour tout intervalle $I$ ?
  • C'est plutôt $f = g$ dans $L^2([0,2\pi])$ ssi $\|f-g\|^2 = \int_0^{2\pi} |f(x)-g(x)|^2dx = 0$


    $\|f\| = \sqrt{\int_0^{2\pi} |f(x)|^2dx}$ est une norme c'est pour ça que ça fait sens de définir la complétion des fonctions continues pour la norme $L^2$, c'est-à-dire les limites de suites de fonctions continues qui sont Cauchy pour $\|.\|$

    (similaire à lorsqu'on complète $\Q$ pour $|.|$ afin d'obtenir $\R$)
  • 8-) f=g dans L^p <
    > f=g pp
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  • @reuns : OK merci.
    Pour le complété de $\Q$ c'est une valeur absolue que tu as écrite je suppose ?

    @gebrane : pp = ??
  • pp: almost everywere english
    presque partout en francais
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  • Ah d'accord :-)
  • totem
    Je ne comprends pas pourquoi reun a compliqué l'explication

    L’égalité dans les L^p c'est l’égalité au sens presque partout .point!
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  • Non l'égalité dans les $L^p$ c'est celle donnée par la norme, et si $f$ est nulle presque partout alors sa norme est $0$
  • reuns
    Tu as écris
    C'est plutôt $f = g$ dans $L^2([0,2\pi])$ ssi
    $\|f-g\|^2 = \int_0^{2\pi} |f(x)-g(x)|^2dx = 0$
    ce qui implique f-g=0 pp non?

    Je rappelle : Soit f une fonction mesurable positive sur A.
    Si son intégrale est nulle sur A, alors la fonction f est nulle presque partout sur A.
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  • reuns

    ai-je tort ou raison ?
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