Idéal idempotant

Bonsoir

Soient $f$ un homomorphisme d'anneaux de $A$ dans $B$, $J$ un idéal de $B$ tel que $J \subset Idemp(B)$ ($Idemp(B$) = les idempotents de $B$).

Je veux montrer quand $f^{-1}(J) $ est inclus dans $Idemp(A)$.
Si $f$ et injective on aura le résultat.

Ma question est la suivante.
Est-ce qu'on peut trouver le résultat en prenant une autre hypothèse ? sur l'anneau $A$ par exemple ?
Merci pour vos retours.

Réponses

  • Aucune raison que ce soit vrai uniquement en imposant des choses sur $A$ : $B=J=\{0\}$ et $A$ quelconque.
  • Pour clarifier : tu cherches des hypothèses sur $(A,B,f,J)$ qui font que le $f^{-1}(J) $ est inclus dans les idempotents ?
  • @Maxtimax

    oui exactement .
  • Si $f^{-1}(J)$ est constitué d'idempotents, alors soit $x,y \in f^{-1}(J)$, $f(x) \in J$ et $f(y) \in J$, donc $f(x+y) \in J$ et $x+y \in f^{-1}(J)$. De plus $x^2=x$ et $y^2=y$, et $(x+y)^2=x+y$, donc si l'anneau est commutatif, on a $2xy=0$, pour tout $x,y \in f^{-1}(J)$. Donc, notamment, $2x^2=0$ pour tout $x \in f^{-1}(J)$, donc $2x=0$, pour tout $x \in f^{-1}(J)$.

    De même, si $J$ est constitué d'idempotents, pour tout $x,y \in J$, on a $x+y \in J$, donc $(x+y)^2=x+y$ et $x^2=x$ et $y^2=y$, donc $2xy=0$. Donc, en particulier, $2x^2=0$. Donc $2x=0$, pour tout $x \in J$.
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