Nature du polygone
Bonjour à tous .
Le site Diophante propose cet été un joli problème de Victor Thébault ( coïncidence , Pappus en parlait récemment ) . On trouve aisément la solution mais il y a un peu de calcul à faire pour la justifier et on aimerait quelque chose de plus "propre" avec de jolies transformations .
Le texte :
On inscrit dans un cercle ($\Gamma$) de centre $O$ et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets $A_1,A_2,...,A_k$ .
Soient $O_1$ le point symétrique de $O$ par rapport à la corde $[A_1A_{k-1}]$ et $O_2$ le symétrique de $O$ par rapport à la corde $[A_2A_6]$ . $O_1O_2$ a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ($\Gamma$). Déterminer k.
Merci d'avance :-)
Domi
Le site Diophante propose cet été un joli problème de Victor Thébault ( coïncidence , Pappus en parlait récemment ) . On trouve aisément la solution mais il y a un peu de calcul à faire pour la justifier et on aimerait quelque chose de plus "propre" avec de jolies transformations .
Le texte :
On inscrit dans un cercle ($\Gamma$) de centre $O$ et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets $A_1,A_2,...,A_k$ .
Soient $O_1$ le point symétrique de $O$ par rapport à la corde $[A_1A_{k-1}]$ et $O_2$ le symétrique de $O$ par rapport à la corde $[A_2A_6]$ . $O_1O_2$ a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ($\Gamma$). Déterminer k.
Merci d'avance :-)
Domi
Réponses
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Déjà un dessin...
-
Sans offense , je peux en fournir un autre un peu plus bavard :-)
Domi -
Via les racines complexes de 1 ,
$k=26$
Calculs pas beaux. -
Oui Soland , on y arrive laborieusement avec les complexes , c'est plus simple avec la trigonométrie .
J'espère voir une démonstration un peu moins calculatoire .
Domi -
La vérification que la valeur $26$ convient est facile à la machine :
sage: K.<z> = NumberField(cyclotomic_polynomial(26)) sage: e = z+1/z-z^2-z^6 sage: eb= 1/z+z-1/z^2-1/z^6 sage: e*eb 3
-
De temps en temps j'essaie de rédiger.
PRINCIPE : Calculer l'angle en $O$ du triangle $(OO_1O_2)$
via le théorème du cosinus, les côtés étant
$$
|OO_1| =2\cos(m\pi) \qquad |OO_2| = 2\cos(2m\pi) \qquad |O_1O_2| =\sqrt{3}
$$
où $m:=2/k$ . On espère trouver $(4m\pi)$ (cf. le dessin de Domi).
Mathematica donne
$$
f(m) := \frac{|OO_1|^2+|OO_2|^2-3}{2\,|OO_1|\,|OO_2|} - \cos(4m\pi) =
$$
$$
1 - 2\cos(m\pi) + 2\cos(2m\pi) - 2\cos(3m\pi) + 2\cos(4m\pi) - 2\cos(5m\pi) + 2\cos(6m\pi)
$$
Le tracé de cette fonction entre 0 et $1/3$ donne deux zéros potentiels en $(1/13)$ et $3/13$ ,
on retient le premier.
Soit $w := \exp(i\pi/13)$ On a
$$
f(1/13) = 1 + (w^{12} + w^{14}) + (w^{2} + w^{24}) + (w^{10} + w^{16}) + (w^{4} + w^{22}) + (w^{8} + w^{18}) + (w^{6} + w^{20})
$$
C'est la somme des racines 13èmes de l'unité, qui est nulle, ce que je voulais prouver.
Je vais m'occuper des $\cos(2k\pi/13)$, il y en a six. -
On peut aller un peu plus vite en exprimant tout en fonction de $X=\cos \hat{a}$ avec $\hat{a}=\frac{2\pi}k :$
$O_1O_2^2=OO_1^2+OO_2^2-2.OO_1.OO_2.\cos\ 4\hat{a}$ peut s'écrire :
$(2.X+1).(64.X^6-32.X^5-80.X^4+32.X^3+24.X^2-6.X-1)=0 .$
Le deuxième facteur n'est rien d'autre que le polynôme minimal $\displaystyle{\cos \frac{\pi}{13}}$ dont les racines sont : $\displaystyle{\cos \frac{\pi}{13} , \cos \frac{3\pi}{13} , \cos \frac{5\pi}{13} , \cos \frac{7\pi}{13} , \cos \frac{9\pi}{13} \text { et }\cos \frac{11\pi}{13}.}$
Seule la première proposition fournit une valeur entière pour $k$ ,
On peut faire encore bien plus rapide en partant directement $4\cos^2\hat{a}+4\cos^22\hat{a}-8\cos\hat{a}.\cos 2\hat{a}.\cos4\hat{a}=3$ et en utilisant une petite astuce qu'on m'a soufflée ( multiplier chaque membre par $\sin \hat{a}$ ) .
Domi -
Bon...
j'ai quelques idées... que je vais transmettre ici avec une égalité.
On part de $27=3^3$ c'est à dire la solution $$
\begin{array}{cc}
27-1& =&(3-1) \times (3^2+3+1) \\[2pt]
\end{array}
$$ euh... et aussi symétrie axiale donc $2$ et $$
\begin{array}{ccccc}
6& =&2 \times 3&=&(3-1) \times 3\\[2pt]
\end{array}
$$ à coup de 3-Sylow... de groupe des unités de $\mathbb{F}_{27}$ et que sais-je encore... tout cela à traduire géométriquement bien entendu avec le codage "3=équilatéral ou rotation d'ordre 3 et "2=symétrie axiale".
Je demande un peu de temps (2-3 jours) pour décanter tout ça... mais si quelqu'un veut prendre la suite de ces "indications" chelous, je vous en prie : faîtes ! (j'ai l'impression que tout ça est cousu de fils blancs...franchement). -
@Callipiger
Tu te prends pour le meilleur comique de l'Univers mais au mieux tu n'es que le pitre du forum!
[small]p[/small]appus -
Bonsoir à tous,
J'avais moi aussi noté ce problème du site Diophante
J'ai commencé avec la même approche que Domi, mais je suis resté impuissant devant le polynôme de degré 7 ... Et comme je n'avais jusqu'à présent jamais entendu parler du polynôme minimal d'un nombre et de son utilité ... J'ai fait un petit détour par Wikipédia : l'article "polynôme minimal" est assez instructif, mais encore d'un niveau trop élevé au regard de mes connaissances ... Enfin, j'aurai du moins appris quelque chose ! Merci à Domi de m'en avoir donné l'occasion !
Bien cordialement
JLB -
A ceux, dont Domi (bonjour), qui aimeraient une démonstration plus géométrique.
Dans la réponse figure le nombre 26 .
Je doute qu'on y arrive sans une bonne dose de calcul. -
@jelobreuil : il n'y a pas besoin de connaître la notion de polynôme minimal.
Soit $P(X)=\dfrac{X^{13}+1}{X+1}=\displaystyle \sum_{k=0}^{12} (-1)^k X^k$. Les racines de $P$ sont $e^{i\frac{k\pi}{13}}$ pour $k=\pm 1,\pm 3,\ldots,\pm 11$.
Notons $x=X+X^{-1}$ et $x_k=X^k+X^{-k}$. On a la relation de récurrence $x_{k+2}=xx_{k+1}-x_{k-2}$ qui permet de calculer $x_2=x^2-2$, $x_ 3=x^3-3x$, $x_4=x^4-4x^2+2$ et $x_5=x^5-5x^3+5x$.
On a
\begin{eqnarray*}
P(X)&=&X^6(1+\sum_{k=1}^6 (-1)^k (X^k+X^{-k}))\\
&=&X^6(1+x_6+x_4-(x_5+x_3)+x_2-x)\\
&=&X^6(1+x(x_5-x_4)+x_2-x)\\
&=&X^6(x^6-x^5-5x^4+4x^3+6x^2-3x-1).
\end{eqnarray*}
Ce terme s'annule quand $x=e^{i\frac{k\pi}{13}}+e^{-i\frac{k\pi}{13}}=2\cos \frac{k\pi}{13}$ ($k=1,3,5,\ldots,11$), donc $64y^6-32y^5-80y^4+32y^3+24y^2-6y-1$ s'annule pour $y=\cos \frac{k\pi}{13}$ ($k=1,3,5,\ldots,11$). -
Avec l'astuce que j'ai donnée plus haut , on part de : $4.\cos^2\hat{a}+4.\cos^2 2\hat{a}-8.\cos \hat{a}.\cos 2\hat{a}.\cos 4\hat{a}=3 .$
En multipliant par $\sin \hat{a}$ , les identités suivantes fournissent une simplification miraculeuse :
$4.\cos^2\hat{a}.\sin \hat{a}=\sin \hat{a}+\sin 3\hat{a} .$
$4.\cos^2 2\hat{a}.\sin \hat{a}=2.\sin \hat{a}-\sin 3\hat{a}+\sin 5\hat{a}.$
$8.\cos \hat{a}.\cos 2\hat{a}.\cos 4\hat{a}.\sin \hat{a}=\sin 8\hat{a}.$
$(\sin \hat{a}+\sin 3\hat{a})+(2.\sin \hat{a}-\sin 3\hat{a}+\sin 5\hat{a})-\sin 8\hat{a}=3.\sin \hat{a} .$ donc $\sin 8\hat{a}=\sin 5\hat{a} .$
On peut espérer une explication pas trop calculatoire de ce résultat :-)
Domi -
J'ai remarqué au passage que l'automorphisme de $\mathbb{Q}[\xi_{26}]$
induit par $\xi_{26}\mapsto\xi^3_{26}\mapsto\xi^9_{26}\mapsto\xi^{27=1}_{26}$ est d'ordre 3.
Peut-il servir ?
Appart ça, si le triangle équilatéral joue un rôle,
il faut envisager le $3\times 26$-gone. -
@soland
mais carrément ! mais vectoriellement seulement (pappus va pas aimer...)
à tout hasard puisqu'il faut vectorialiser la figure de Domi contient tout je crois... (là je l'aurai cherché ... je clos la paire de parenthèses par ce geste
>)
j'aurais une autre remarque à faire, mais je ne vais pas la faire. (et je tenais à le dire)
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Bonjour!
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