Nilpotence et surjectivité

Bonsoir,
j'ai une question s'il vous plaît.

Soient $f$ un homomorphisme d'anneaux de $A$ dans $B$ et $I$ un idéal de $B$.
On suppose que l'élément $f(a)+i \in f(A)+I$ est nilpotent dans $B$ où $a\in A$ et $i \in I$.
Si $f$ est surjective, est-ce que $f(a)$ est nilpotent dans $B$ ?

Merci pour vos retours.

Réponses

  • Voici un contre-exemple possiblement faux : $A=B$, $f=\mathrm{id}$, $I$ l'idéal engendré par $a$, $i=-a$, de sorte que $f(a)+i=0$ et pourtant, $f(a)=a$ n'a aucune raison d'être nilpotent.
  • Pourquoi possiblement faux Math Coss ? D'ailleurs pas besoin de prendre un exemple si particulier: si $f$ est quelconque et $I = (f(a))$ alors $f(a)-f(a) = 0$ est nilpotent, $f(a)$ n'a pourtant aucune raison de l'être en général
  • Pourquoi possiblement faux ? Parce que ces jours-ci, 7 messages que j'écris sur 8 sont faux ou très faux. (Fin des geignements.)
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