Intégrale à paramètre, point d'annulation.

dedekind93

Bonjour à tous. Existe-t-il $y\in\mathbb{R}_+^*$ tel que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t+y}\text{d}t=0$ ? Pourquoi ? Merci pour vos idées !

gerard0

Bonjour.

La fonction du premier membre semble être strictement positive avec comme limite à l'infini 0.

Cordialement.

callipiger

Bonjour,
ça risque d'être difficile à trouver (impossible même en regardant les bornes données par gerard0 )
une idée fixer $y_1 \geq y_2$ et vérifier que l'intégrale de la différence est de signe constant ,
une autre idée mais c'est la même : dériver sous le signe somme.

"à vue de nez" la fonction semble décroissante .

jandri

Avec deux IPP on démontre que la fonction est strictement positive.

dedekind93

Ah oui merci jandri, j'avais fait deux IPP mais n'avait pas pensé à majorer après ! Merci à tous.

jandri

Avec deux IPP l'intégrale de départ est égale à $2\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos(t)}{(t+y)^3}\text{d}t$ qui est clairement strictement positive.

dedekind93

Oui merci, je n'avais pas pensé à rentrer la valeur du crochet dans l'intégrale. ..

jandri

Quand on fait une IPP on a souvent intérêt à bien choisir la constante d'intégration quand on prend la primitive, par exemple ici on prend $1-\cos(t)$ comme primitive de $\sin(t)$.

gebrane

On peut pimenter la question.

Soit $I(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t+a}\text{d}t$.
1) Soit $a\in R^*_+$
a) Étudier la convergence de l’intégrale.
b) Montrer que la limite de $I$ en $+ \infty$ est nulle.
c) Montrer que la limite de $I$ en $0^+$ est $+ \infty$.
d) Calculer la limite de $a^2I(a)$ en $+ \infty$ (numériquement ça donne 1)
2) Montrer que $I$ à des zéro dans $\C$ mais pas dans $\R$ (objet de la question de ce fil).

dedekind93

Merci gebrane pour ce prolongement !
Avec les formes obtenues par intégrations par parties la question 1. est à peu près claire... mais je n'ai pas du tout d'idée pour la 2. justement (hors argument de jandri pour le cas réel) !

jandri

On peut aussi ajouter à la première question la recherche d'un équivalent simple en $0^+$.