Suite Implicite

Nemya

Salut

S'il vous plait est-ce que quelqu'un peut me donner une indication pour montrer la croissante de cette suite implicite

side

supp

Chaurien

On prouve d'abord que la suite $x_n$ est monotone, ce qui implique qu'elle est convergente.
On peut conjecturer sa limite $\ell $ en faisant un dessin. On démontre ceci par l'absurde ou autrement.
On peut enfin trouver un équivalent « simple » de $x_n - \ell$.
Bonne soirée.

Math Coss

Introduisons un indice : $f_n:x\mapsto x^n-\cos x$. On sait que $f_n(x_n)=0$ et $f_{n+1}(x_{n+1})=0$. À présent, il est facile de comparer $f_n(x)$ et $f_{n+1}(x)$ pour $x\in\left]0,1\right[$. En prenant $x=x_{n+1}$, on en déduit une inégalité reliant $f_n(x_{n+1})$ et $0$, que l'on peut interpréter comme $f_n(x_n)$. Le sens de variation de $f_n$ permet de comparer $x_{n+1}$ et $x_n$.

side

supp

Nemya

Merci beaucoup pour vos réponses (je m'excuse pour cette réponse tardive)