Passage d'un produit scalaire à un autre.

Bonjour

J'aimerais savoir si en ayant un espace euclidien $(E,\langle.,. \rangle)$ et qu'en sachant qu'il existe un autre produit scalaire $\varphi $ est-il possible de relier les deux produits scalaires ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Oui, étant donnés deux produits scalaires euclidiens (formes quadratiques définies positives), il existe $f$ endomorphisme inversible tel que $\langle f(x),f(y)\rangle=\varphi(x,y)$ pour tous $x,y\in E$.
    Clé : chacun des deux produits scalaires admet une base orthonormée.
  • Prends une base orthonormale $e_j$ pour $\langle .,. \rangle$.

    À partir d'un autre produit scalaire, c'est à dire une forme bilinéaire qui satisfait $x \ne 0 \implies b(x,x) >0$, prends une base $u_i$ orthonormale pour $b$, alors $A (\sum_j c_ju_j) = \sum_j c_j e_j$ est un endomorphisme $ \in End(E)$ et $b(x,y) = \langle Ax,Ay \rangle$.
  • Soit $e_1,...,e_n$ une base orthonormée de $E$ pour $\langle \cdot,\cdot\rangle$.
    La matrice $M:=i,j \mapsto \varphi(e_i,e_j)$ étant symétrique, il existe dans $E$ une base $f_1,...,f_d$ orthonormée pour $\langle \cdot,\cdot \rangle$ diagonalisant cette matrice. On a alors $\varphi(f_j,f_j)=0$ pour tous $i,j$ tels que $i\neq j$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bonsoir,

    Merci pour vos réponses. Je prends $B=(e_{1},..,e_{n})$ bon pour $\langle , \rangle$ et $C=(c_{1},..,c_{n})$ bon pour $\varphi $. Si on prend $M$ la matrice de $C$ dans $B$ , et en notant $X'$ la matrice de $x$ dans $B$ et $X$ la matrice de $x$ dans $C$, là j'aimerais bien écrire $\varphi (X',Y')=\varphi (MX,MY)$ mais je peux pas. Et je n'arriverai pas à sortir le produit scalaire initial de toute façon.
    Vous en pensez quoi s'il vous plaît?
    Merci d'avance.
  • Ce que tu écris n'a pas vraiment de sens, tu confonds l'écriture matricielle avec l'écriture vectorielle, et en plus te ne fais pas intervenir ton produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$. La bonne relation est ${}^t\!XY = {}^t\!(MX')MY'$. Si on note $f$ l'(unique !) endomorphisme envoyant $B$ sur $C$, ceci se traduit vectoriellement par $\varphi\big(f(x), f(y)\big) = \langle x, y \rangle$.
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