Justification d'une permutation de sommes

Bonjour,

Il y a un résultat en probabilités qui dit que si on a une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ alors $E(X)=\sum_{n=1}^{+\infty}{P(X \geq n)}$
On procède pour montrer ce résultat de la façon suivante : $\sum_{n=1}^{+\infty}{P(X \geq n)}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\sum_{k=n}^{+\infty}{P(X =k)}}$ et là on permute les deux sommes.
J'aimerais utiliser un théorème de sommation par paquet ou autre mais comme la suite $(P(X=k))_{k\geq 1}$ ne dépend que d'un seul indice je ne vois pas trop comment m'y prendre.
J'espère que vous pourrez m'aider à comprendre cette manipulation.
Merci d'avance,

Réponses

  • Utilise $1_{k\ge n}$ qui vaut $1$ si $k\ge n$, $0$ sinon.
  • Je trouve le dessin ci-dessous assez éclairant (il faut cliquer pour qu'il soit moins flou...), à défaut d'être une preuve formalisée.88078
    MA.png 17.8K
  • Pour mettre les points sur les $k$ et les $n$...88082
    MA.png 39.4K
  • Bonjour,

    Je vous remercie pour vos réponses.En utilisant la fonction indicatrice il faut montrer que la famille $(1_{k\geq n}(k)P(X=k))_{n\geq 1,k\geq 1}$ est sommable n'est-ce pas ?
    Soit $n \geq 1$, $(1_{k\geq n}(k)P(X=k))_{k\geq 1}$ est sommable ( car sous-famille d'une famille sommable par définition de la probabilité ) et sa somme est $1- \sum_{i=0}^{n-1}{P(X=i)}$
    Et la si je veux continuer avec le théorème de Fubini, il faudrait que je somme sur tous les n, ce qui donne quelque chose de divergent...

    Merci pour votre schéma, il m'éclaire en effet, et on voit que n'importe comment on somme alors on obtient quelque chose de convergent, mais je n'arrive toujours pas à percevoir le secret de cette permutation. On peut même sommer sur les diagonales et on obtiendra toujours le même résultat. Mais je n'arrive pas à rédiger cela de manière correcte.

    Merci d'avance,
  • Comme on somme des réels positifs, le théorème de Tonelli permet de permuter les sommes librement sans se préoccuper de convergence.

    Au demeurant, selon la variable $X$, il peut très bien arriver que ces sommes ne soient pas convergentes. Exemple : $P(X=k)=\frac{6}{\pi^2}\,\frac{1}{k^2}$ pour $k\ge1$.
  • Bonsoir,

    Vous avez raison pour le théorème de Tonelli.Je n'y avais pas pensé.
    Mais sinon, j'aimerais une petite indication de plus pour faire une démonstration avec les indicatrices comme a précisé @aléa ? Car j'aimerais bien m'améliorer sur ce domaine des double sommes. Peut-être que je tomberai un jour sur une double somme un peu similaire à ce qu'on a ici mais dont les termes ne sont pas positifs.

    Merci d'avance,
  • Pour $(n,k)\in(\N^*)^2$, on note $a_{n,k}=\mathbf{1}_{k\ge n}P(X=k)$. Tous les termes sont positifs donc, par le théorème de Tonelli, \[\sum_{n\ge1}\sum_{k\ge1}a_{n,k}=\sum_{k\ge1}\sum_{n\ge1}a_{n,k}.\] Pour conclure, on calcule séparément : \begin{align*}
    \sum_{n\ge1}\sum_{k\ge1}a_{n,k}&=\sum_{n\ge1}\sum_{k\ge n}P(X=k)=\sum_{n\ge1}P(X\ge n),\\
    \sum_{k\ge1}\sum_{n\ge1}a_{n,k}&=\sum_{k\ge1}\sum_{n=1}^kP(X=k)=\sum_{k\ge1}k\,P(X=k).\end{align*}
  • Bonsoir,

    Je vous remercie pour votre réponse.
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