Théorème d'Euclide

Carlos0

Bonjour,

je me demandais à propos du théorème d'Euclide sur l'infinité des nombres premiers s'il était possible, étant donné l'importance de ce théorème, de le démontrer sans raisonner par l'absurde...
si vous avez des idées, n'hésitez pas...
a+

bisam0

On peut le démontrer ainsi :

Soit $(p_1,p_2,...,p_k)$ les $k$ premiers nombres premiers alors $p_1p_2...p_k+1$ est un entier qui n'est divisible par aucun de ces nombres. Donc c'est soit un nombre premier plus grand que $p_k$, soit il est divisible par un nombre premier plus grand que $p_k$. Dans tous les cas, il existe un nombre premier plus grand que $p_k$, par conséquent l'ensemble des nombres premiers est infini.

borde

<!--latex-->Comme beaucoup de théorèmes célèbres, celui-ci possède une multitude de démonstrations différentes, tant dans la forme que dans l'esprit.
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<BR>Je vous suggère la lecture du très bon livre de Paulo Ribenboim : <I>Nombres Premiers : Mystères et Records</I>, paru chez PUF en 1994. Des preuves sont données pages 1 à 10.
<BR>
<BR>Borde.<BR>

archimède0

> Donc c'est soit un nombre premier strictement plus grand que $ p_k$,
> soit il est divisible par un nombre premier strictement plus grand que $ p_k$.

Signalons que la deuxième alternative est toujours vraie...