Décroissance d'une fonction

Bonjoir,

voyez-vous un moyen simple d'établir le fait que la fonction $f$ définie par
$$
\forall x>-\frac{1}{2},\quad f(x)=\frac{\Gamma(x+1/2)}{\Gamma(x+1)}
$$
est décroissante ? Merci.

PS : $\Gamma$ est la fonction définie par
$$
\forall x>0,\quad \Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\, dt
$$

Réponses

  • Ce n'est pas compliqué avec la relation $\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma-\dfrac1x+\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\dfrac1k-\dfrac1{k+x}\right)$.

    Plus généralement si $a<b$ alors $x\mapsto \dfrac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x+b)}$ est décroissante.
  • La $\log$-convexité de $\Gamma(x)$ se montre avec https://proofwiki.org/wiki/Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz_Inequality/Definite_Integrals

    Et alors $(\log \Gamma(x))'$ est croissante donc $\log \Gamma(x+a)-\log \Gamma(x) = \int_x^{x+a} (\log \Gamma(t))'dt$ est croissante

    De la $\log$-convexité on déduit le produit infini pour $\Gamma(x)$ et la formule explicite qu'a donné Jandri pour $\Gamma'/\Gamma(z)$ (d'abord valide sur $x >0$ puis par prolongement analytique pour tous les complexes)
  • C'est reuns qui a raison: le plus rapide à partir de la définition intégrale de $\Gamma(x)$ c'est de montrer que $\Gamma'^2\leq\Gamma\Gamma''$ qui entraîne que $\dfrac{\Gamma'}{\Gamma}$ est croissante d'où la décroissance de $x\mapsto \dfrac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x+b)}$ quand $a<b$.
  • Merci reuns et jandri.
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