Fonction solution d'une équation diff
Bonjour,
J'ai l'équation différentielle suivante : $y''+e^{x}y=0$ $(E)$. Si $f$ est une solution non nulle de $(E)$ alors elle s'annule au plus une fois (car sinon d'après le théorème de Rolle $\exists c\in]a,b[,$ où $f(a)=f(b)=0$ tel que $f'(c)=0$ et donc puisque $0$ est une solution de $(E)$ alors d'après le théorème de Cauchy-Lipshitz $f=0$).
Prenons une solution sur $\mathbb{R}_{+},~\varphi$ telle que : $\varphi(0)=1=\varphi '(0)$.
Je dois montrer que $\forall x\in \mathbb{R}_{+},~ \varphi(x)\geq x+1$. Cette fonction ressemble fortement à l'exponentielle mais ne l'est pas vu que l'exponentielle n'est pas solution de l'équation différentielle. Alors j'ai pensé à procéder d'une manière similaire à celle avec laquelle on montre l'inégalité avec l'exponentielle. La formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 1 donne :
$\varphi(x)=x+1+\int_{0}^{x}{\varphi''(t)(x-t)dt}=x+1+\int_{0}^{x}{e^{t}\varphi(t)(x-t)dt}$
Je pense qu'on doit montrer que $\varphi$ est toujours positive mais je n'arrive pas à montrer cela.
Sachant que le TAF ne donne rien (il faudra montrer que $\varphi '(t) \geq 1$) et qu'on ne peut pas utiliser la convexité de $\varphi$ (il faudra montrer que $\varphi ''(0) \geq 0$). Même avec l'étude de fonction $f(t)=\varphi(t) -t -1$ je ne peux avancer.
J'espère que vous pourrez me donner des pistes afin de continuer cet exercice qui comporte encore quelques questions.
Merci d'avance,
J'ai l'équation différentielle suivante : $y''+e^{x}y=0$ $(E)$. Si $f$ est une solution non nulle de $(E)$ alors elle s'annule au plus une fois (car sinon d'après le théorème de Rolle $\exists c\in]a,b[,$ où $f(a)=f(b)=0$ tel que $f'(c)=0$ et donc puisque $0$ est une solution de $(E)$ alors d'après le théorème de Cauchy-Lipshitz $f=0$).
Prenons une solution sur $\mathbb{R}_{+},~\varphi$ telle que : $\varphi(0)=1=\varphi '(0)$.
Je dois montrer que $\forall x\in \mathbb{R}_{+},~ \varphi(x)\geq x+1$. Cette fonction ressemble fortement à l'exponentielle mais ne l'est pas vu que l'exponentielle n'est pas solution de l'équation différentielle. Alors j'ai pensé à procéder d'une manière similaire à celle avec laquelle on montre l'inégalité avec l'exponentielle. La formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 1 donne :
$\varphi(x)=x+1+\int_{0}^{x}{\varphi''(t)(x-t)dt}=x+1+\int_{0}^{x}{e^{t}\varphi(t)(x-t)dt}$
Je pense qu'on doit montrer que $\varphi$ est toujours positive mais je n'arrive pas à montrer cela.
Sachant que le TAF ne donne rien (il faudra montrer que $\varphi '(t) \geq 1$) et qu'on ne peut pas utiliser la convexité de $\varphi$ (il faudra montrer que $\varphi ''(0) \geq 0$). Même avec l'étude de fonction $f(t)=\varphi(t) -t -1$ je ne peux avancer.
J'espère que vous pourrez me donner des pistes afin de continuer cet exercice qui comporte encore quelques questions.
Merci d'avance,
Réponses
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Bonsoir
> J'ai l'équation différentielle suivante : $y"+e^{x}y=0$ $(E)$. Si $f$ est une solution non
> nulle de $(E)$ alors elle s'annule au plus une fois (car sinon d'après le théorème de Rolle
> $\exists c\in]a,b[$ où $f(a)=f(b)=0$ tel que $f'(c)=0$ et donc puisque $0$ est une solution de
> $(E)$ alors d'après le théorème de Cauchy-Lipshitz $f=0$).
Pourquoi on aurait implicitement $f(c)=0$ ? (c'est comme ça que je comprends ton raisonnement...) le raisonnement que tu sembles utiliser ne montre seulement que les zéros d'une solution non nulle sont isolés.
Peut-être faut-il utiliser un argument de convexité et un raisonnement par l'absurde. -
supp
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Une coquille?
Ton équation est plutôt $y''-e^{x}y=0$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
On peut sans doute utiliser le lemme de Grönwall.
-
Bonsoir
Merci pour vos réponses.
Je m'excuse, l'équation est $y"-e^{x}y=0$ comme l'a relevé @gebrane.
Pour @callipgier : Vous avez raison. Il fallait rajouter $f(c)=0$ à l'argument, ce qu'on n'a pas. Par contre, je ne vois pas comment utiliser un argument de convexité. J'ai pensé à quelque chose, mais c'est plutôt géométrique... Supposons par l'absurde l'existence de deux points d'annulations de $f$ : $a$ et $b$, donc il existera d'après le théorème de Rolle un point $c$ dans $]a,b[$ tel que $f'(c)=0$. Je pense qu'on a deux cas de figure. Entre $a$ et $b$ soit $f$ est négative et convexe, soit positive et concave (imaginons pour le premier cas une cloche renversée par exemple une cloche qui s'annule en $a$ et en $b$ avec une pente horizontale en $c$ et pour le cas de $f$ positive alors une cloche tout court). Et vu qu'on a $f''(x)=e^{x}f(x)$ alors c'est absurde car les deux fonctions auront un signe différent. Vous en pensez-quoi s'il vous plaît ?
Pour @side : j'ai essayé de bien rédiger votre démonstration.
Supposons que $\varphi(\alpha) \neq 0$, vu que $\varphi$ est continue en $\alpha$ alors en prenant $\varepsilon =2\left|\varphi (\alpha ) \right|$ on trouve l'existence d'un $x > \alpha$ tel que $\varphi(x)>0$ ce qui contredit la maximalité de $\alpha$. Donc $\varphi(\alpha) =0$, ce qui est absurde aussi car par passage à la limite à $\alpha$ dans $\varphi(x) \geq x+1$ on trouve que $\varphi(\alpha) \geq 1$. (On peut passer à la limite car l'inégalité est vraie $\forall x \in [0,\alpha]$).
Il me reste une dernière question concernant cet exercice.
On définit sur $\mathbb{R}_{+}: \psi (x)=\varphi (x)\int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}$. Alors $t\mapsto\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}$ est de classe $C^{2}$ sur $\mathbb{R}_{+}$ et de plus elle est continue en $x$ pour tout $x\in \mathbb{R}_{+}$ et $f(t)\leq \frac{1}{(1+t)^{2}}$ donc elle est intégrable au voisinage de $+\infty$. Ainsi $\psi$ est bien définie et est de classe $C^{2}$. Elle est de plus solution de $(E)$.
Je dois montrer qu'elle est bornée. J'obtiens la piètre majoration $\psi (x)\leq \frac{\varphi (x)}{x+1}$ que j'essaie d'exploiter mais j'y arrive pas. J'ai aussi l'idée d'utiliser un raisonnement analogue à ce qu'on fait pour le lemme de Gronwall mais je ne sais pas comment procéder exactement surtout que si je pose $F(x)=\int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}$, alors on ne change pas vraiment de $\psi$.
J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois en ces deux points restants.
Merci d'avance, -
supp
-
Bonjour ,
donc multiplier par $y'$ et intégrer avec les conditions initiales -
supp
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Pour ta dernière question , Une autre piste (tu as vu que $\varphi$ est positive) montre d'abord que que $\varphi$ est croissante d'où $\forall x\geq 0$, $$\psi(x)\leq \int_x^{+\infty} \frac 1 {\varphi (t)} dt \leq \int_0^{+\infty} \frac 1 {\varphi (t)} dt $$ mais la minoration $\varphi(t)\ge t+1 $ étant insuffisante, tu la pousse ( tjs avec Taylor) jusqu’à le terme en $t^2$, finalement $$\psi(x)\leq \int_0^{+\infty} \frac 1{1+t+\frac 12 t^2}dt$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
supp
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Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Pour l'annulation au plus une fois j'ai essayé d'appliquer vos méthodes :
Celle de @side. Supposons que $f$ s'annule au moins deux fois en $a$ et $b$, on a alors $f(a)=f(b)=0$ donc d'après le théorème de Rolle, il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
On a $f''^{2}(t)=2e^{t}f^{2}(t)+2f'^{2}(t)$, donc $f^{2}$ est convexe. On a alors : $\frac{f^{2}(c)-f^{2}(a)}{c-a}\leq \frac{f^{2}(b)-f^{2}(a)}{b-a}$ donc : $0\leq f^{2}(c)\leq 0$. On a alors : $f(c)=f'(c)=0$ et donc d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz : $f=0$ (contradictoire avec le fait que $f$ est non nulle).
Celle de @callipgier. Je ne vois pas comment intégrer. On a en multipliant par $y'$ : $y"y'-e^{x}yy'=0$ ce qui donne : $(\frac{1}{2}(y')^{2})'-e^{x}(\frac{1}{2}y^{2})'=0$. Y a-t-il un moyen pour se débarrasser de l'exponentielle ? J'ai essayé plusieurs choses mais ça me donne toujours un terme avec de l'exponentielle qu'on ne peut pas intégrer.
Pour la majoration de $\psi$.
Première méthode de @side. On a bien $\psi ^{2}$ est convexe, mais dans ce cas sa dérivée est croissante non ?
Deuxième méthode de @side. Je ne vois pas comment vous avez fait, mais je suis arrivé à un autre résultat en utilisant la première partie de votre démonstration : $\forall t \in [x,+\infty[,~ \varphi (t)\geq \varphi (x)+(t-x)\varphi '(x)$
On a alors : $\int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}\leq \int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{ \varphi (x)+(t-x)\varphi '(x) }}$
Donc : $\varphi(x) \int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}\leq \frac{1}{\varphi '(x)}$
Mais $\varphi$ est convexe, donc $\varphi'$ est croissante, d'où $\psi(x) \leq 1$.
Pour la méthode de @gebrane. Je pense qu'il faudra montrer d'abord que $1/\varphi$ est intégrable mais je ne vois pas comment faire.
Bien que l'exercice ait été résolu grâce à votre aide, j'aimerais bien savoir les méthodes que je n'ai pas pu continuer afin d'en tirer de l'expérience.
J'aimerais bien savoir comment vous faîtes l'inégalité stricte @side.
J'espère que vous pourrez m'accorder cette faveur.
Merci d'avance, -
supp
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Il faut relire mes écrits, l’intégrabilité de $1/\varphi$ vient de l’inégalité ( à démontrer) $$\forall x\ge 0,\quad \varphi(x)\ge 1+x+\frac 12 x^2$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonsoir,
Les propriétés de la fonction $\psi$ permettent de cerner l'allure des courbes représentant les solutions de $(\mathrm E)$ sur $\R^+.$
$\boxed{ \varphi\: \text{ est strictement positive sur}\:\R^+.}$
Sinon, $\:\:\exists a = \inf \{ x \in \R^+ \mid \varphi (x) = 0\}. \quad \forall x \in [0 ;a[, \:\varphi(x) >0,$ donc $\varphi'' (x)>0.\quad \varphi '$ est donc croissante et positive sur $[0;a].\:\: \varphi $ est ainsi croissante sur $[0;a]$ et $\varphi (a) \geqslant \varphi (0)$, ce qui contredit $\varphi(a) =0.$
Il en résulte que $\boxed{\varphi\:\text{ est convexe , strictement croissante sur }\:\R^+ \:\text{et}\: \displaystyle \lim_{+\infty} \varphi = +\infty.}$
$\forall x \in \R^+, \quad \varphi'(x)\geqslant \varphi '(0) =1,\quad$ donc $\:\:\varphi (x) \geqslant \varphi (0) + x = 1+x$, ce qui entraine:
$\: \varphi''(x) =\mathrm e^x \varphi(x)\geqslant \mathrm e ^x(x+1), \:\:$ puis $\;\varphi'(x) \geqslant 1+ \displaystyle \int_0^x \mathrm e^t (t+1) \mathrm dt \geqslant \mathrm e^x\:\:$ et enfin$\:\: \varphi (x) \geqslant \mathrm e^x$.
Il vient alors: $\:\forall x \in \R^+,\:0< \psi (x)< \displaystyle \int _x^{+\infty} \dfrac 1{\varphi} < \int _x ^{+\infty} \mathrm e^{-t}\mathrm dt= \mathrm e^{-x}.$
D'autre part, $\psi$ est positive sur $\R^+$ et est une solution de $( \mathrm E)$. Elle est donc convexe sur $\R^+.$ On déduit:
$$ \boxed{\displaystyle \lim_{+\infty} \psi = 0 \:\text {et}\: \psi\: \text{ est convexe, décroissante sur }\: \R^+.}$$
$(\varphi , \psi )$ est une base du $\R-$espace vectoriel constitué par les solutions de $(\mathrm E)$ sur $\R^+,$ et ce qui précède permet d'énoncer:
$ \forall a \in \R,\: \text{il existe une unique solution}\: f_a\: \text { de (E) bornée sur}\:\R^+\:\text {et telle que}\: f_a(0) =a.\quad f_a'(0) =\dfrac {a\psi'(0)}{\psi(0)}:= m(a).\:$ De plus, $$\boxed{f_a\:\text{ est convexe, monotone sur}\: \R^+\:\text{ et} \:\displaystyle \lim _{+\infty}f_a=0.}$$
Soit $a>0$ et $f$ une solution de $(\mathrm E) $ telle que $f(0) =a$. Alors $m(a)<0.$
$\bullet\quad$ Si $f'(0) = m(a)$, alors $f=f_a.$
$\bullet \quad$ Si $f'(0) >m(a)$, alors $f$ est convexe, strictement positive sur $\R^+$, et $\displaystyle \lim_{+\infty} f= +\infty.$
$\bullet \quad$ Si $f'(0) <m(a)$, alors $f$ est convexe puis concave, avec une inflexion au point où elle s'annule, et $\displaystyle \lim_{+\infty} f = -\infty.$ -
Bonjour,
Le calcul que j'ai fait est :
$\forall t\in [x,+\infty[, \varphi (t)\geq \varphi (x)+(t-x)\varphi '(x)$
Donc : $\int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}\leq \int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{ {(\varphi (x)+(t-x)\varphi '(x))^{2}}}}$
En posant $u=\varphi (x)+(t-x)\varphi '(x)$
On a alors : $\int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}\leq \int_{\varphi (x)}^{+\infty}{\frac{\frac{du}{\varphi '(x)}}{ {u^{2}}}}$
Et ainsi : $\int_{x}^{+\infty}{\frac{dt}{\varphi (t)^{2}}}\leq \frac{1}{\varphi '(x)} (+\frac{1}{\varphi (x)})$
Donc : $\psi(x)\leq \frac{1}{\varphi' (x)}$
Or $\varphi $ est convexe donc $\varphi '$ est croissante donc : $\psi(x)\leq \frac{1}{\varphi' (0)}$
Sinon, ma question portait sur comment avoir $\varphi (x)>x+1$. En effet, les deux fontions ne peuvent pas être égales ( je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'évoquer l'intégrale d'une fonction positive continue est nul si et seulement si la fonction est nulle ), mais à priori elles peuvent être égales en queqlues points non ?
Pour la méthode de @gebrane :
On a $\varphi "(t)=e^{t}\varphi (t)$ donc $\varphi$ est $C^{3}$ et : $\varphi "'(t)=e^{t}\varphi (t)+e^{t}\varphi '(t)$ , vu que $\varphi '$ est positive alors $\varphi "'$ est positive aussi. Ce qui permet d'avoir l'inégalité : $\varphi (x)\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}$
Et on a donc la majoration de $\psi$ que vous avez mentionné.
Merci tous pour vos différentes méthodes et votre aide. -
Bonsoir,
Je m'excuse pour le double post mais c'est pour que ce post actuel ne chevauche pas avec le dernier que j'avais écrit alors que @LOU16 écrivait son post aussi.
Est-ce que vous pouvez m'expliquer s'il vous plaît comment vous avez obtenu que $\psi$ était décroissante ? Et aussi, comment les fonctions $f_{a}$ sont bornées. Je ne pense pas qu'elles sont bornées car vous avez évoqué après leur limite en $+\infty$ qui étaient infinies.
Merci d'avance, -
supp
-
Bonsoir,
Merci pour votre réponse. Oui, je voulais simplement savoir comment procéder.
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Bonjour!
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