Endomorphisme et analyse

PolVano

Bonjour,

Je bloque sur une question que je n'arrive pas à résoudre. C'est de trouver les valeurs propres d'un endomorphisme exprimé sous forme d'intégrale.
On pose $E:=\{f\in C^{0}(\mathbb{R});f(x+2\pi)=f(x)\}$ et on définit sur $E$ l'endomorphisme ( je l'ai vérifié ) $G$ suivant : $G(f)(x)=\int_{0}^{+\infty}{e^{-t}f(x+t)dt}$.

J'aimerai trouver les valeurs propres de $G$. Je vois que toutes les fonctions constantes sont des vecteurs propres associées à la valeur propre $1$. Si on écrit : $G(f)=\alpha f$ je tombe sur une équation intégrale que je n'arrive pas à résoudre. J'arrive à écrire dans ce cas : $\int_{0}^{+\infty}{e^{-t}(f(x+t)-f(x))dt}=0$ mais je ne peux pas avancer plus que ca.
J'ai pensé à écrire la décomposition en série de Fourier de $f$ mais elle n'est pas au programme.

J'espère que vous pourrez m'aider à résoudre cet exercice et à apprendre à me comporter face à de telles situations.

lale

Le changement de variable $u=x+t$ permet de continuer en prouvant que dès que f est continue $G(f)$ est de classe $C^1$ on trouve alors $G(f)$ solution d'un équation différentielle .

reuns

$G(f)(x) =\int_0^\infty f(x+t)e^{-t}dt$.

Tu dois reconnaître que c'est un opérateur de convolution.

$G(f)(x)= \int_0^{2\pi} f(x+t) h(t)dt$ où $h(t) = \sum_{n=0}^\infty e^{-t-2\pi n} = \frac{e^{-t}}{1-e^{-2\pi}}$.

Soit $c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-i n x} f(x)dx$ alors
\begin{align*}
G(f)(x) &= \int_0^{2\pi} (\sum_n c_n(f) e^{i n(x+t)})(\sum_m c_m(h) e^{i mt})dt \\

&=\sum_n \sum_m c_n(f)c_m(h)e^{i nx} \int_0^{2\pi} e^{i (n+m)t}dt\\
&=\sum_n c_n(f)c_{-n}(h) e^{i nx}

\end{align*} d'où on a trouvé les vecteurs propres.

gebrane

Le $x\mapsto G(f)(x) =\int_0^\infty f(x+t)e^{-t}dt$ n'est pas un opérateur de convolution, un opérateur de convolution s’écrit : $$G(f)(x) = \int_{-\infty}^\infty h(x-\tau)f(\tau)\mathrm{d}$$

PolVano

Bonjour,

J'ai essayé de suivre la piste proposée par @lale car je n'ai pas compris que ce @reuns a fait.

Après le changement de variable : $G(f)(x)=e^{x}\int_{x}^{+\infty}{e^{-u}f(u)du}$ donc $G(f)$ est de classe $C^{1}$ car produit de deux fonctions de classe $C^{1}$.
Je dérive : $G(f)'(x)=e^{x}\int_{x}^{+\infty}{e^{-u}f(u)du}-f(x)=G(f)(x)-f(x)$ , donc $G(f)$ est solution de $y'-y+f(t)=0$
Les solutions de l'équations homogènes sont les $t\mapsto \lambda e^{t}$ , la méthode de la variation de la constante donc la recherche de solutions particulières sous la forme $t\mapsto \lambda(t) e^{t}$ ce qui donne $\lambda'(t) =e^{-t}f(t)$ et donc $\lambda$ est une primitive de $t\mapsto e^{-t}f(t)$. Donc $G(f)=\lambda e^{t}+\int_{0}^{t}{e^{-u}f(u)du}$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$ constante fixée.
Je ne vois pas comment continuer. Si on essaie de dériver pour se débarasser de l'intégrale on retombera sur l'équation différentielle.

J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois afin que je puisse avancer.

Merci d'avance,

lale

On cherche les valeurs et vecteurs propres de G
Si $G(f)=\lambda f$ alors f vérifie une équation différentielle . il reste à voir si il y a des $\lambda$ pour lesquels il y a des solutions $ 2\pi$ périodiques.

PolVano

Bonjour,

Merci pour votre réponse, j'ai oublié de revenir à $f$.
Donc on trouve que $\lambda f' = \lambda f -f$.
Si $\lambda$ alors $f=0$. Donc $0$ n'est pas une valeur propore de $G$.
Sinon, on a $f'=(1-\frac{1}{\lambda})f$ et ainsi : $\exists \mu \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=\mu e^{(1-\frac{1}{\lambda})x}$. Or $f$ est périodique donc soit $\mu=0$ qu'on écarte car $f$ est un vecteur propre,soit $\lambda =1$. Et ainsi $1$ est la seule valeur propre et toutes les fonctions constantes non nulles sont des vecteurs propres associé à cette valeur propre ( le sous-espace vectoriel des fonctions constantes est le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$ ).