Existence d'une famille de réels
Bonjour
J'ai résolu un exercice mais je ne sais pas si mon raisonnement est correct.
J'aimerais montrer l'existence d'une famille de réels $(a_{0},\ldots,a_{n-1})$ telle que : $\forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\ P(x+n)+\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}P(X+k)}=0$
J'ai décidé de partir par analyse-synthèse. Si nous supposons qu'une telle famille existe, alors en appliquant l'égalité aux polynômes $1,X,\ldots,X^{n-1}$ on obtient que : $\forall j \in [|0,n-1|],\ n^{j}=-\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}k^{j}}.$
Prenons maintenant $A=\begin{pmatrix}
1 &. & . & . & 1\\
k & . & . & . & k\\
. & . & . & . &. \\
.& . & . & . & .\\
k^{n-1} & . & . & . & k^{n-1}
\end{pmatrix}.$ Alors le système $AX=\begin{pmatrix}
-1\\
.\\
.\\
.\\
-n^{n-1}
\end{pmatrix}$ admet une solution car $A$ est inversible (matrice de Vandermonde)
Donc il existe une telle qui famille qui vérifie l'égalité pour les polynômes de la base canonique. Et donc en décomposant un polynôme quelconque on trouve le résultat voulu.
J'espère que vous pourrez me rectifier/corriger si j'ai commis des fautes dans la démonstration et j'aimerais savoir si on peut proposer une autre méthode de résolution.
Merci d'avance,
J'ai résolu un exercice mais je ne sais pas si mon raisonnement est correct.
J'aimerais montrer l'existence d'une famille de réels $(a_{0},\ldots,a_{n-1})$ telle que : $\forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\ P(x+n)+\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}P(X+k)}=0$
J'ai décidé de partir par analyse-synthèse. Si nous supposons qu'une telle famille existe, alors en appliquant l'égalité aux polynômes $1,X,\ldots,X^{n-1}$ on obtient que : $\forall j \in [|0,n-1|],\ n^{j}=-\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}k^{j}}.$
Prenons maintenant $A=\begin{pmatrix}
1 &. & . & . & 1\\
k & . & . & . & k\\
. & . & . & . &. \\
.& . & . & . & .\\
k^{n-1} & . & . & . & k^{n-1}
\end{pmatrix}.$ Alors le système $AX=\begin{pmatrix}
-1\\
.\\
.\\
.\\
-n^{n-1}
\end{pmatrix}$ admet une solution car $A$ est inversible (matrice de Vandermonde)
Donc il existe une telle qui famille qui vérifie l'égalité pour les polynômes de la base canonique. Et donc en décomposant un polynôme quelconque on trouve le résultat voulu.
J'espère que vous pourrez me rectifier/corriger si j'ai commis des fautes dans la démonstration et j'aimerais savoir si on peut proposer une autre méthode de résolution.
Merci d'avance,
Réponses
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Ta matrice $A$ est mal écrite (même si on comprend ce que tu veux dire par le contexte).
+ tu écris "on obtient que", mais as-tu prouvé l'équivalence, i.e. que si les $a_j$ vérifient ta deuxième égalité, alors ils vérifient la condition pour la base des $X^k$ ? (ce n'est pas compliqué mais ce que tu as écrit laisse penser que tu n'as peut-être prouvé qu'une direction ?)
(PS : ta preuve a l'air de marcher, mais si tu en veux une plus efficace tu peux invoquer le théorème de Cayley-Hamilton) -
Bonjour,
Merci pour votre réponse.
J'ai premièrement cherché des conditions sur la famille voulue. J'ai trouvé les égalités qui déduisent quand on teste les polynômes de la base canonique.
Après, on va poser la matrice $A$ que j'ai donné. Au passage je ne comprends pas pourquoi la matrice est mal écrite. Voulez-vous dire que ce n'est pas une matrice de Vandermonde mais la transposée d'une matrice de Vandermonde ?
Après avoir posé cette matrice A qui est inversible, on dira qu'on a une famille de réels qui vérifient les conditions qu'on a obtenu au début. Et donc on remontera à l'égalité donnée par l'énoncé pour tous les polynômes de la base canonique, et on en déduit qu'elle est valable pour tous les polynômes.
Je ne vois pas comment je pourrais invoquer le théorème de Cayley-Hamilton. J'ai l'impression que c'est comme si on cherchait un polynôme annulateur pour tout l'espace $\mathbb{R}_{n-1}[X]$.
Pouvez-vous m'éclairer un peu plus s'il vous plaît ?
Merci d'avance, -
Tu as mis des $k$ dans chaque colonne de ta matrice $A$, alors que $k$ varie, c'est ça que je veux dire par "mal écrite".
Ma question portait sur "Et donc on remontera à l'égalité donnée par l'énoncé pour tous les polynômes de la base canonique" : ce que tu décris montre que tu as déduit ta formule sur les $a_j$ de cette égalité, mais moi je te demande si tu as montré que tu pouvais justement remonter (à nouveau ce n'est pas compliqué, mais ça doit être dit)
Quant au théorème de Cayley-Hamilton, que dire de l'endomorphisme suivant de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ : $L(P) = P(X+1)$ ? -
Bonjour,
Vous avez raison à propos des $k$, je n'avais pas prêté attention. Il faudra mettre des $1,2,...,n-1 $, donc ce n'est plus une matrice de Vandermonde ( ou transposée d'une matrice de Vandermonde ) mais on pourra montrer qu'elle est inversible par l'endomorphisme que vous proposez même dont l'inverse est l'endomorphisme qui à $P$ associe $P(X-1)$.
On a $L^{j}(P)=P(X+j)$ pour tout $j$ dans $\mathbb{N}$. Puisque c'est un endomorphisme d'un espace de dimension finie, alors on peut parler de son polynôme caractéristique qui un est polynôme annulateur ( théorème de Cayley-Hamilton ) unitaire.
Merci pour cette démonstration. -
Pourquoi ne serait-ce pas une matrice de Vandermonde ?
Polynôme annulateur unitaire de degré $n$ !
[Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) a droit au respect de son patronyme. AD] -
Excusez-moi, j'ai dit n'importe quoi, c'est bien une matrice de Vandermonde.
Oui de degré $n$ car $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ est de dimension $n$.
[Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) a droit au respect de son patronyme. AD]
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