Idéal engendré par un élément

Salut,
Soient $ f : A \to B $ un homomorphisme d'anneaux, $e \in B $ tel que $e=e^2$ et $J =\,<e>$ un idéal de $B$ engendré par $e$ .
Est-ce qu'on peut trouver un idempotent $e'$ de $A$ tel que l'idéal $f^{-1}(J)$ soit engendré par $e'$ ?
Merci pour vos retours.

Réponses

  • Pas forcément, si on prend $A=\Z$ et $B=\Z/6\Z$, la classe de $3$ est un idempotent mais pas le générateur de l’image réciproque
  • Non en général : soit $k$ un corps (ou un anneau intègre), $A= k[X], B=k[X]/(X^2-X)$, $f$ le.morphisme canonique et $e$ l'image de $X$.
  • (Ça me rappelle une blague : deux mathématiciens discutent. L’un d’eux expose son nouveau théorème. L’autre lui dit qu’il a un contre-exemple, ce à quoi le premier répond « C’est pas grave! J’ai deux preuves! » )
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