Radical de Jacobson
Bonjour
Soient $\begin{array}{ccccc}
f & : & A & \to & B
\end {array} $ un homomorphisme d'anneaux , $J $ un idéal de $B$ , $rad()$ est le radical de Jacobson de $()$ et $Idem()$ désigne les idempotents de $()$:
Les implications suivantes sont -elles justes ?
1) Si $J \subset rad(B) $ alors $f^{-1}(J) \subset rad(A)$
2) Si $J \subset Idem(B) $ alors $f^{-1}(J) \subset Idem(A)$
Remarque : (Ma réponse était NON sauf si $f$ est surjectif pour 1) et injectif pour 2) , ,j'aimerais savoir si je me suis trompé ou non )
Merci pour vos retours.
[Même dans le titre Nathan Jacobson (1910-1999) prend toujours une majuscule. AD]
Soient $\begin{array}{ccccc}
f & : & A & \to & B
\end {array} $ un homomorphisme d'anneaux , $J $ un idéal de $B$ , $rad()$ est le radical de Jacobson de $()$ et $Idem()$ désigne les idempotents de $()$:
Les implications suivantes sont -elles justes ?
1) Si $J \subset rad(B) $ alors $f^{-1}(J) \subset rad(A)$
2) Si $J \subset Idem(B) $ alors $f^{-1}(J) \subset Idem(A)$
Remarque : (Ma réponse était NON sauf si $f$ est surjectif pour 1) et injectif pour 2) , ,j'aimerais savoir si je me suis trompé ou non )
Merci pour vos retours.
[Même dans le titre Nathan Jacobson (1910-1999) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
-
Le 1) me paraît faux, même si $f$ est surjective. Considérer par exemple le morphisme canonique de $\mathbb Z$ sur $\mathbb Z/4\mathbb Z$.
Le 2) est vrai si $f$ est injective, comme tu le dis. -
oui , vous avez raison .Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres