Mesure nulle et applications $C^1$

gimax

Bonjour
Est-ce que la propriété d'être de mesure nulle est préservée par une application de classe $C^1$ ?

Plus précisément, la mesure considérée est la mesure de Lebesgue de $\R^n$. Soit $\phi : \R^n \to \R^n$ une application de classe $C^1$ et $A$ une partie négligeable de $\R^n$. Est-ce que $\phi(A)$ est négligeable ?

Si $\phi$ est un difféomorphisme, c'est une conséquence immédiate de la formule du changement de variable, et si $\phi$ est de rang constant, je pense que c'est encore vrai (je n'ai pas écrit la preuve, mais je pense que je sais le faire). Ma question est donc : si $\phi$ n'est pas de rang constant ?

Merci d'avoir déjà lu la question !

Krokop

Oui cela provient du fait qu'un sous-ensemble de mesure de Hausdorff nulle est préservée par application localement lipschitzienne sur tout espace topologique qui s'écrit comme réunion dénombrable de compacts.

Ici avec $\R^n$ on a cette propriété et le fait que la dimension de Hausdorff coïncide avec [celle] de Lebesgue. Sauf erreur.

gimax

Merci pour votre réponse. Je croyais justement l'inverse à savoir que la mesure de Hausdorff $n$-dimensionnelle et la mesure de Lebesgue sur $\R^n$ ne coïncidaient pas... Je vais arrêter de me plaindre de mes élèves qui croient des trucs faux...

Phare

Si on sait qu'une fonction lipschitzienne "préserve la mesure nulle", il suffira d'écrire $\phi(A)$ comme union dénombrables de mesurables de mesure nulle.

gimax

Merci Phare. Désolé pour mes questions à répétition, mais comment prouve-t-on ce dernier point (que les fonctions lipschitziennes préservent la mesure nulle) ? Par ailleurs, là c'est seulement localement lipschitzien que j'ai...

En fait je n'ai aucune idée de si c'est facile (ça ne me paraît pas évident du tout, mais peu de choses me paraissent évidentes :-D) ou de si ça fait appel à de l'artillerie lourde...

J'ai essayé de bricoler un truc en prenant des réunions dénombrables de compacts que je découpais en un nombre fini de boules sur chacune desquelles ma fonction était lipschitzienne, mais je n'ai pas réussi à conclure...

Je ne vous demande donc pas une preuve complète et détaillée, mais les grandes lignes : est-ce que ça marche en bricolant comme j'ai essayé de le faire (mais en s'y prenant mieux :-D) ou bien est-ce qu'il y a un résultat sophistiqué derrière ?

Corto

Soit $A\subset \R^n$ un ensemble de mesure nulle, alors pour tout $\varepsilon$ il existe un recouvrement de $A$ par des pavés $P_i$ tels que $\sum \lambda (P_i) \leq \varepsilon$. Si $f$ est une application $K$-Lipschitzienne on montre une inégalité du type $\lambda(f(P_i))\leq (CK)^n \lambda (P_i)$, où $C$ est une constante on en déduis donc que $\lambda(f(A)) \leq (CK)^n \varepsilon $ et donc que $f(A)$ est négligeable.

Comme une application $C^1$ est localement lipschitzienne et que $\R^n$ s'écrit comme une réunion dénombrable de compacts l'image d'une partie négligeable pas une application $C^1$ est encore négligeable.

gimax

Merci Corto, c'est la première ligne de ce que tu as écrit qui manquait à mes tentatives ! Merci à tous.

Krokop

Effectivement Phare c'est bien plus simple!