Polynômes et symétries

Magnéthorax

Bonjour,

la courbe de toute fonction polynôme de degré $2$ présente une symétrie axiale, celle de toute fonction polynôme de degré $3$ présente une symétrie centrale.

Y a-t-il des choses à dire en degré $4$ (quitte à s'autoriser des transformations moins évidentes) et au delà ? Si oui lesquelles ? Si non pourquoi ?

Merci.

soland

Pour le degré 4 on a une symétrie oblique d'axe vertical
et de même direction que la bitangente.

Frédéric Bosio

Et quand il n'y a pas de bitangente réelle, a-t-on encore un automorphisme affine réel non trivial qui préserve le graphe ?

Magnéthorax

Bonsoir,

merci pour vos interventions. Soland, je ne sais pas démontrer ce que tu affirmes. Pour qu'il y ait une bitangente, il faut des conditions sur les coefficients du polynôme, non ?

GaBuZoMeu

S'il y a une bitangente, une transformation affine du plan du genre x'=x+a, y'=y+bx+c permet d'amener cette bitangente sur l'axe des abscisses de sorte que que les deux points de tangence soient symétriques par rapport à l'origine. Le polynôme est alors de la forme d(X-e)^2(X+e)^2, un polynôme pair.

Il y a une bitangente réelle pour $aX^4+bX^3+cX^2+dX+e$ si et seulement si $9b^2-24ac\geq 0$, sauf erreur.

soland

En attendant la 1ère méthode

Magnéthorax

GaBuZoMeu : pourtant la courbe associée à $X^4$ n'admet pas de bitangente réelle.

Math Coss

Si, puisque le contact du graphe avec la droite $y=0$ est d'ordre $4$ : les deux points de tangence sont confondus.

soland

Voilà la début.

P.S. Les points de contact peuvent avoir des composantes complexes.

Magnéthorax

Merci, j'ai compris.

acetonik

@ Mathcoss
Doit-on considérer que l'on a une bi-tangente ou une seule tangente en un point méplat ?
Si la tangente à une courbe est une droite qui rencontre la courbe en au moins deux points confondus, il faut, à mon avis, une inégalité stricte dans l'inégalité de GBZM ... un peu de pinaillage sans doute, mais la situation est fréquente et pas toujours claire...

Cordialement.