Centraliseur d'une matrice inversible

Bonjour,

Dans l'officiel de la taupe 2018 on peut lire dans un exercice ENS MP : montrer que si $g \in GL_n(\mathbb{C})$ le centraliseur de $g$ est infini
pourtant ça semble beaucoup trop simple puisque les matrices $\lambda I_n$ avec $ \lambda \in \mathbb{C}^\times$ conviennent.

Pourtant si on "interdit" les matrices scalaires on peut s'en sortir en étudiant $\{g^n, n \in \mathbb{Z}-\{0\}\}$ qui est fini lorsque g est diagonalisable et infini sinon

Je pense donc qu'il manque une hypothèse dans l'énoncé mais je n'ai pas réussi à trouver une hypothèse qui "interdirait" les matrices scalaire, sauriez-vous rapprocher cet énoncé de quelque chose de connu avec des hypothèses convenable ?

Réponses

  • Si $\{g^n \mid n \in \mathbb Z \setminus \{0\}\}$ est fini, $g$ est effectivement diagonalisable, mais la réciproque est évidemment fausse.

    Sans parler des puissances, il y a tous les multiples non nuls de $g$, ou plus généralement tous les polynômes en $g$ qui ont un déterminant non nul. J'avoue ne pas savoir par quoi il faudrait combler l'énoncé. Peut-être qu'il faut remplacer infini par autre chose de moins évident ?
  • Bonsoir,

    Bien sûr $g = 2 I_n$ fournit un contre exemple

    En effet on a toujours $\mathbb{C}[g] \subset \mathcal{C}(g)$ mais ça m'a semblé difficile de trouver une infinité de polynôme $P$ tel que $g$ est inversible (à part $X^n$ bien sûr)

    Enfin bref ta remarque me conforte dans l'idée que cet énoncé est définitivement irrécupérable, je vais donc arrêter de le chercher pour le moment
  • Pour l'infinité de polynômes, c'est relativement facile : $\mathbb{C}[g]\simeq \mathbb{C}[X]/(\pi_g)$ où $\pi_g$ est le polynôme minimal. Les inversibles sont précisément les polynômes premiers à $\pi_g$ : $\pi_g$ a un nombre fini de facteurs irréductibles, $\mathbb{C}[X]$ une infinité d'irréductibles : et voilà. Bon en examinant de plus près ce qu'on dit on se rend compte que ce n'est pas magique : on dit juste que $g-\lambda id$ est inversible si $\lambda$ n'est pas valeur propre, rien de bien grandiose.
  • Un exercice amusant :

    Montrer que le centralisateur d'un élément quelconque de ${\rm GL}(n,{\mathbb C})$ est connexe par arcs.
  • @Paul Broussous ça a l'air intéressant ! En plus ça nous donne gratuitement la connexité par arc de $GL_n(\mathbb{C})$ car ce dernier n'est autre que le centraliseur de l'identité
  • Paul Broussous : tiens je n'y avais jamais pensé, c'est pas mal ! ça me fera un exo de colle en plus, tiens :-D
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