Plus petit groupe non commutatif

Bonjour
J'aimerais savoir s'il y a une preuve pour déterminer l'entier $n$ tel qu'il existe un groupe $G$ de cardinal $n$ et $G$ non commutatif. Je sais que l'entier c'est $n=6$ en me basant sur le fait que $\mathfrak S_3$ est non commutatif et qu'un groupe de cardinal $p$ ou $p^2$ avec $p$ premier est commutatif. Mais j'aimerais savoir s'il y a une démonstration plus abstraite, qui ne nécessite pas de connaître que $\mathfrak S_3$ est non commutatif ou autre groupe qui lui est isomorphe.
Merci d'avance

Réponses

  • Bonsoir,

    Naïvement, est-ce faisable d’écrire tous les groupes de cardinal 2, 3 et 4 puis 5 ?

    Naïvement disais-je, sans « rien » connaître d’autres.

    Cordialement

    Dom
  • Bon du coup tu es d'accord que c'est au moins $6$, et là la démonstration est abstraite, non ?
    Ensuite il y a un théorème "abstrait" qui classifie les groupes d'ordre $pq$ lorsque $p,q$ sont premiers, et il nous dit en particulier : si $p\mid q-1$, il y en a un qui est non commutatif. Or $2 \mid 2 = 3-1$ et $6=2\times 3$. Ensuite il faut voir si ce théorème compte comme abstrait ou pas
  • Pour avoir plus abstrait, je ne vois que Pablo pour pouvoir répondre ! X:-(
    Alain
  • Pablo pique-assiette ?

    Pardon, ce n’est que de l’humour et un jeu de mots.
  • Je m'excuse, je pense que j'ai utilisé mal "abstrait". Je voulais en signifier sans exhiber un groupe en particulier. Comme si au lieu de démontrer que l'exponentielle d'une matrice est bien définie, je le fais dans une algèbre normée quelconque.
    Sinon @Dom , oui il est possible de le faire ( un peu pénible mais possible ). Merci pour votre réponse.
    Merci @Maxtimax pour votre réponse. C'était exactement ce que je cherchais, une démonstration ( en l'occurrence le théorème que vous utilisez ) qui sera générale et que l'exercice sera vu comme application.

    Merci encore.
  • Je vois mal ce que tu attends comme démonstration "abstraite" d'un énoncé du type "tout groupe d'ordre $<6$ est commutatif, mais c'est faux pour l'ordre $6$" à part en exhibant un exemple de groupe non commutatif d'ordre $6$. Le théorème que cite Maxtimax donne une construction des groupes d'ordre $pq$ et montre que ce sont les seuls.
  • Alain Debreil a écrit:
    Pour avoir plus abstrait, je ne vois que Pablo pour pouvoir répondre ! X:-(
    (:P) ;-)

    [B-) AD]
  • Poirot : peut-être que la différence (je ne sais pas, PolVano clarifiera) est que pour le truc de l'ordre $pq$, tu n'as pas à connaître a priori le groupe bizarre obtenu (en l'occurrence $\mathfrak S_3$), sa structure t'est donnée par la démonstration.
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