Martingales

Reï-Vi-Lhô

Bonjour,

Si on considère la situation suivante : un joueur parie $1$ euro une première fois, s'il perd il parie $2$ euros une seconde fois, et ainsi de suite, $2^{k}$ euros la $k-$ième fois. Il arrête de jouer lorsqu'il gagne pour la première fois. A chaque partie, il gagne ou perd avec une probabilité $\frac{1}{2}$. Cette stratégie le conduit à sortir gagnant du jeu, puisque lorsqu'il arrêtera de jouer au temps aléatoire $N$, il aura gagné $2^{N}-(1+2+...+2^{N-1})=1$ euro.

Me vient une première question : quel est l'espace probabilisé ici ? Je serais tenté de dire $\Omega=\{A_{n},n\in\N\}$, où $A_{n}$ est l'évenement "le joueur perd $n$ fois et gagne au $n+1-$ième essai", mais je n'en suis pas sûr. D'ailleurs, moi qui suis débutant en probabilités, il me semble que dans bien des cas on ne précise pas sur quel espace de probabilités on travaille... est-ce que cela signifie que c'est le contexte qui implicitement l'impose ?

Autre question : si $X_{n}$ est une variable alétoire désignant le gain au $n-$ième jeu, alors, $X_{n+1}=X_{n}-2^{n}$ avec une probabilité égale à $\frac{1}{2}$ et $X_{n+1}=X_{n}+2^{n}$ avec une probabilité égale à $\frac{1}{2}$, si le joueur a perdu jusqu'au $n-$ième jeu.
Si on note $(F_{n})_{n\in\N}$ la filtration naturelle de la suite $(X_{n})_{n\in\N}$, alors il est écrit mon livre que $E(X_{n+1}|F_{n})=X_{n}$.
Comment montrer cela ?

J'écrirais bien quelque chose du genre :
$X_{n+1}=(X_{n}-2^{n}).I_{C_{n+1}}+(X_{n}+2^{n}).I_{D_{n+1}}$ où $C_{n+1}$ est l'évenement "le joueur perd au moins $n+1$ fois" et $B_{n+1}$ est l'événement "le joueur perd $n$ fois et gagne au $n+1-$ième essai",pour ensuite utiliser les propriétées de l'espérance conditionnelle, mais çe me semble bien lourd...

De manière générale, j'ai cette désagréable impression que pour bien comprendre les choses en probas, je dois de suite sortir un formalisme bien bourrin... Est-ce parce-que je suis débutant (et/ou nul !) ou est-ce un sentiment partagé par d'autres ?

En tout cas, merci de votre patience si vous m'avez lu en entier !

Amicalement.
Olivier.

Kuja

Bonjour,

pour la première question effectivement il arrive que les espaces probabilisés ne soient pas précisés, et j'avoue que je ne suis pas très fort là dedans, donc je ne me lancerai pas.

En revanche pour la deuxième question on peut écrire

$$X_{n+1}=X_n + \epsilon_{n+1} 2^n$$

où $\epsilon_{n+1}$ est une variable aléatoire qui prend la valeur $1$ si le joueur gagne au $n+1$-ième tour et $-1$ sinon. En notant que $\epsilon_{n+1}$ est indépendante des $X_i$ pour $i=1,...,n$, donc de $F_n$, alors

$$E(X_{n+1} | F_n)=X_n + 2^n E(\epsilon_{n+1}).$$

Or $\epsilon_{n+1}$ est centrée d'où le résultat.

Amicalement,

Reï-Vi-Lhô

Super, en effet vu comme ça, c'est clair !

Merci beaucoup pour ta réponse.

Amicalement.
Olivier.