courbe rectifiable

Sasha1

Bonjour. je voudrais savoir ce que signifie la définition suivante :

"Une courbe rectifiable est une application $c:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ telle que $l(c)=\sup\big(|c(a_2)-c(a_1)|+\dots+|c(a_N)-c(a_{N-1})|\big)

andrea

Je crois que tout simplement ce supremum étant fini, on peut mesurer l'image! de l'arc (voir cours sur les arcs paramétrés, fonctions à variations bornées..)

GERARD5

Attention : "d'intérieur vide" caractérise mieux les frontière que les courbes (l'idée de courbe est souvent liée à celle de trajectoire)

Sasha1

C'est le but de ma question : est-ce que cette définition de "non rectifiable" suffit pour que $c([0,1])$ ressemble à une courbe. Déjà d'après cette définition, il me semble que $c([0,1])$ ne puisse contenir de boule ouverte. Déjà, si l'image est d'interieur vide, ca ressemble un peu plus à une courbe!

Je reformule ma question : qu'est ce qui fait que $l(c)

GERARD5

Qu'appelles-tu une courbe ?
On ne peut pas répondre à une question qui n'a pas de sens (tu as déqualifié ta question du début en disant "bien qu'il n'existe pas vraiment de définition de ce mot je crois..."). Donc réfléchis à ce que tu veux, lis les réponses qu'on te propose, et reformule une question précise.

NB : Dans la définition tu as la réponse à ta question de départ : "Une courbe est une application $c:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ "

GERARD5

Qu'appelles-tu une courbe ?
On ne peut pas répondre à une question qui n'a pas de sens (tu as déqualifié ta question du début en disant "bien qu'il n'existe pas vraiment de définition de ce mot je crois..."). Donc réfléchis à ce que tu veux, lis les réponses qu'on te propose, et reformule une question précise.

NB : Dans la définition tu as la réponse à ta question de départ : "Une courbe est une application $c:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ "

Hadrien

Bonjour,
déjà une question : tu ne supposes pas ton application $c$ continue ?
(dans les définitions que j'ai, c'est la cas).
De toute façon je crois que l'hypothèse de rectifiabilité n'autorise qu'un nombre fini de discontinuités.

Ensuite je pense effectivement que l'image d'une courbe de longueur finie sera d'intérieur vide.

H.

GERARD5

Dans la définition d'une courbe, rien n'interdit les discontinuités (penser aux "courbes de fonctions").

Hadrien

Personnellement je me réfère juste aux livres que j'ai sous la main où les courbes rectifiables sont supposées continues.
D'ailleurs, si ce que j'ai dit précédemment est vrai, ça ne restreint pas beaucoup (quitte à couper la &quotcourbe" non continue en morceaux).

De toute façon on n'a toujours pas de définition de courbe en général (quoique image continue d'un intervalle me plaît bien).
Par exemple est ce qu'on peut parler de &quotcourbe" représentative pour la fonction indicatrice de $ \Q$ ??

Pitou

Perso, je trouve que la courbe de Von Koch est plus une courbe que l'indicartice de $\Q$ (et pas rectifiable en plus !).

Pour essayer de répondre à la question de Sasha, je pense, mais je n'y mettrais pas ma main à couper, que par contraposée on doit pouvoir montrer pas trop difficilement que si l'image de $c$ contient une boule ouverte alors $c$ n'est pas rectifiable. Cela dit la réciproque est fausse, une droite est d'intérieur vide mais pas rectifiable (bon, ok, elle n'est pas compacte donc elle ne rentre pas exactement dans la définition mais bon).

Sasha1

Je suis d'accord : si le fait d'etre rectifiable ou non ne dépend que de l'image de [0,1] et non de la parametrisation, alors si l'image contient un ouvert, $c$ ne doit pas etre rectifiable.

merci!

Hadrien

Bonjour,
je ne sais pas si c'est si facile que ça à écrire...

Tu peux préciser ta pensée Pitou ?

H.

Sasha1

Moi je vois ca comme ca : si l'image contient une boule ouverte de diametre $2\delta$, il y a une infinité de couples de points $(a_i,b_i)$ tq $d(a_i,b_i)=\delta$. Apres il faut considerer une application $c$ qui décrit dans l'ordre les point $(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots...)$. Mais c'est la ou ca ne va pas trop, je ne sais pas si on a le droit de choisir $c$ comme ca, car $c$ est déjà fixé avant...

GERARD5

En fait, le mot courbe recouvre plusieurs acceptions, qui ne se recoupent pas complétement :
* Idée géométrique intuitive d'un trait qui tourne (le cercle est une courbe).
* Représentation graphique d'une fonction numérique (droite comme courbe d'une fonction affine, courbe de d'indicatrice de Q, etc.).
* Trajectoire : (I, f, C) est une courbe, où I est un intervalle de réels, f une application continue (souvent dérivable) de I dans le plan ou l'espace, et où C=f(I) est la courbe à proprement parler.
* C : Ensemble des points d'une trajectoire.
* Variété de dimension 1 Là, il y a une richesse de sous-cas que j'entrevois mais ne connais pas vraiment.

Peut-être y a - t - il encore d'autres idées (Image dans le plan ou l'espace d'un intervalle de réels par une fonction quelconque ?). Ce qui compte, c'est qu'on puisse en faire quelque chose d'utile.

Pitou

Waouh je crois que je l'ai !


J'ai pas mal galéré avec la contraposée, avec les mêmes idées que toi Sasha à savoir que si une courbe remplit une courbe alors elle n'est pas rectifiable, mais c'est trop dur à écrire, car la courbe peut vraiment avoir un comportement sauvage.


Du coup je suis revenu au sens direct, rectifiable immplique d'intérieur vide, avec l'idée de mettre des "noeuds" sur la courbe, et d'enfermer la courbe dans des boules centrées sur ces noeuds. En faisant tendre le nombre de noeuds vers l'infini, et en contrôlant bien la taille des boules, alors la courbe est incluse dans des ensembles de mesures tendant vers $0$ et donc elle est d'intérieur vide.


Donc allons-y gaiement. Je me fixe un $n \in \N^*$ et je définis $a_k=k/n$ pour $0 \leq k \leq n$. Je regarde les points $c(t)$ pour $a_k \leq t \a_{k+1}$, plus précisément je pose $r_k=\max \{ ||c(t)-c(a_k)||+||c(t)-c(a_{k+1})||, \, t \in [a_k, a_{k+1}] \}$, et je choisis $t_k$ réalisant ce maximum (pour $0 \leq k \leq n$).


Je définis la subdivision (éventuellement avec répétition) $s_n=\{a_0, t_0, a_1, t_1, \ldots , a_n, t_n, a_{n+1} \}$. En notant $L(s)$ la longueur "polygonale" associée à une subdivision $s$, j'obtiens par définition de $l(c)$ :
$$(1) \quad \quad L(s'_n) = \sum_{k=0}^n r_k \leq l(c)$$

Pour tout $t \in [a_k, a_{k+1}]$ on a $||c(t)-c(a_k)|| \leq r_k$. Donc $c([a_k,a_{k+1}]) \subset B(a_k,r_k)$. Donc $\dispaystyle c([0,1]) \subset \bigcup_{k=0}^n B(a_k,r_k)$. Notons $C_n$ ce dernier ensemble ($C$ comme chaîne de boules).


En notant $\lambda$ la mesure de Lebesgue dans $\R^2$ on a clairement :
$$(2) \quad \quad \lambda(C_n) \inf \pi \sum_{k=0}^n r_k^2$$

Comme $[0,1]$ est compact, $c$ est uniformément continue d'après le théorème de Heine. On se donne maintenant $\varepsilon > 0$. On peut lui associer $n \in \N^*$ tel que $|t-s| \leq 1/n \Rightarrow ||c(t)-c(s)|| \leq \varepsilon / 2$ pour tous $t,s$ dans $[0,1]$.


En prenant ce $n$ comme notre $n$ initial, on voit facilement que $r_k \leq \varepsilon$. L'équation $(1)$ nous donne alors $\varepsilon \leq \dfrac{l(c)}{n}$. En réinjectant dans $(2)$ obtient
$$\lambda(C_n) \leq \pi n \varepsilon^2 \leq \frac{\pi l(c)}{n}$$

Comme $\lambda(c([0,1]) \leq \lambda(C_n)$ pour tout $n$, $c([0,1])$ est Lebesgue-négligeable et en particulier il est d'intérieur vide.


Qu'en pensez-vous ?

Pitou

Waouh je crois que je l'ai !


J'ai pas mal galéré avec la contraposée, avec les mêmes idées que toi Sasha à savoir que si une courbe remplit une courbe alors elle n'est pas rectifiable, mais c'est trop dur à écrire, car la courbe peut vraiment avoir un comportement sauvage.


Du coup je suis revenu au sens direct, rectifiable immplique d'intérieur vide, avec l'idée de mettre des "noeuds" sur la courbe, et d'enfermer la courbe dans des boules centrées sur ces noeuds. En faisant tendre le nombre de noeuds vers l'infini, et en contrôlant bien la taille des boules, alors la courbe est incluse dans des ensembles de mesures tendant vers $0$ et donc elle est d'intérieur vide.


Donc allons-y gaiement. Je me fixe un $n \in \N^*$ et je définis $a_k=k/n$ pour $0 \leq k \leq n$. Je regarde les points $c(t)$ pour $a_k \leq t \leq a_{k+1}$, plus précisément je pose $r_k=\max \{ ||c(t)-c(a_k)||+||c(t)-c(a_{k+1})||, \, t \in [a_k, a_{k+1}] \}$, et je choisis $t_k$ réalisant ce maximum (pour $0 \leq k \leq n$).


Je définis la subdivision (éventuellement avec répétition) $s_n=\{a_0, t_0, a_1, t_1, \ldots , a_n, t_n, a_{n+1} \}$. En notant $L(s)$ la longueur "polygonale" associée à une subdivision $s$, j'obtiens par définition de $l(c)$ :
$$(1) \quad \quad L(s_n) = \sum_{k=0}^n r_k \leq l(c)$$

Pour tout $t \in [a_k, a_{k+1}]$ on a $||c(t)-c(a_k)|| \leq r_k$. Donc $c([a_k,a_{k+1}]) \subset B(a_k,r_k)$. Donc $\dispaystyle c([0,1]) \subset \bigcup_{k=0}^n B(a_k,r_k)$. Notons $C_n$ ce dernier ensemble ($C$ comme chaîne de boules).


En notant $\lambda$ la mesure de Lebesgue dans $\R^2$ on a clairement :
$$(2) \quad \quad \lambda(C_n) \inf \pi \sum_{k=0}^n r_k^2$$

Comme $[0,1]$ est compact, $c$ est uniformément continue d'après le théorème de Heine. On se donne maintenant $\varepsilon > 0$. On peut lui associer $n \in \N^*$ tel que $|t-s| \leq 1/n \Rightarrow ||c(t)-c(s)|| \leq \varepsilon / 2$ pour tous $t,s$ dans $[0,1]$.


En prenant ce $n$ comme notre $n$ initial, on voit facilement que $r_k \leq \varepsilon$. L'équation $(1)$ nous donne alors $\varepsilon \leq \dfrac{l(c)}{n}$. En réinjectant dans $(2)$ obtient
$$\lambda(C_n) \leq \pi n \varepsilon^2 \leq \frac{\pi l(c)}{n}$$

Comme $\lambda(c([0,1]) \leq \lambda(C_n)$ pour tout $n$, $c([0,1])$ est Lebesgue-négligeable et en particulier il est d'intérieur vide.


Qu'en pensez-vous ?


(correction du premier message)

corentin0

Que c'est globalement très astucieux, suffisamment pour être juste.

Sasha1

oui je suis d'accord mais $c$ n'est pas forcement continue
dans le bouquin sur lequel je bosse, $c$ est une application quelconque. Je cite :

"A rectifiable curve is a map $c(t)$ from $[0,1]$ into $\mathbb{R}^2$ such that $l(c)=\dots$ (cf definiton) is finite, where the supremum is taken among all finite increasing sequences $a_1,\dots,\a_n$ of real numbers in $[0,1]$. "

Il ne suppose pas que $c$ est continue, il le fait par la suite dans des cas particuliers.

Pitou

Meerci corentin mais en fait je m'aperçois qu'il y a unne erreur, globalement très grossière, suffisament pour passer inaperçue ;-)

En effet comment passer d'une minoration d'$\varepsilon$ en $(1)$ à la majoration $\varepsilon \leq l(c) / n$ ? Réponse : en faisant une erreur de débutant (honte). Donc il reste à travailler un peu dessus...

Sasha : s'il ne suppose pas la continuité c'est bien dommage ; il ne suppose même pas la continuité par morceaux ? En gros $c$ peut être très très sauvage... Je pense que si $c$ est injective et rectifiable elle doit être au moins réglée non ?

corentin0

Au fait, ça ne peut pas se faire par l'absurde en se donnant une boule qui contient la courbe, et ensuite sommer sur des cercles concentriques de plus en plus serrés (donc longueur tend vers l'infini) pour en déduire que la courbe n'est pas rectifiable?
Ou plutôt prendre un carré, parce qu'il parait que pour majorer des longueurs, il vaut mieux des lignes droites...

Pitou

Ok corentin, ça me paraît une bien meilleure idée. Mais je changerais un peu le coup des cercles concentriques en carrés divisés en 4 chaque fois.

Si $c$ contient une boule $B(m,r)$ pour la norme $\infty$, on peut supposer par translation-homothétie (et surtout sans perte de généralité) que c'est $[0,1]^2$. On pose alors pour $n \in \N$ et $k,l \in [0,2^n-1] \cap \N$ : $C_{k,l}^n=[k2^{-n},(k+1)2^{-n}] \times [l2^{-n},(l+1)2^{-n}]$, et on note $m_{k,l}^n=2^{-n}(2k+1,2l+1)$ le centre du carré $C_{k,l}^n$.

On doit pouvoir montrer que la composante connexe $\gamma_{k,l}^n$ de $c([0,1]) \cap C_{k,l}^n$ qui contient $m_{k,l}^n$ vérifie $l(\gamma{k,l}) \geq 2^{-n}$ (si tant est que c'est effectivement une courbe : je pense que oui si $c$ est continue). Alors $l(c) \geq 2^n \times 2^n \times 2^{-n} = 2^n$.

Hadrien

Bonsoir,

j'avais une idée mais je ne sais pas si ça parle à beaucoup de monde : c'est de considérer les mesures de Hausdorff sur R2.

L'hypothèse de courbe rectifiable entraine que la dimension de Haussdorff de l'image de c est au plus 1. On en déduit que sa 2-mesure de Haussdorff, qui n'est autre que sa mesure de Lebesgue, est nulle.
Par conséquent elle ne peut être d'intérieur non vide.

Pitou

<!--latex-->Oui, la dimension est ce à quoi on pense quand on étudie un peu cet énoncé, d'ailleurs la construction avec les petits carrés que j'ai décrite n'est pas sans rappeler celle de la dimension de boîte il me semble. Effectivement avec cet arsenal à disposition le résultat est clair mais je pense qu'une preuve "élémentaire" i.e. avec des outils de Licence est intéressante aussi non ?
<BR>
<BR>Au passage pour les gens qui s'intéresseraient à la dimension de Hausdorff et à ses petites soeurs, je conseille chaleureusement la lecture de <I>Fractal Geometry</I> de K.Falconer.<BR>