Vecteurs aléatoires gaussiens

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

On sait qu'un vecteur aléatoire $(X_{1},X_{2},....,X_{d})$ est gaussien si toute combinaison linéaire des $X_{i}$ est une variable aléatoire réelle gaussienne. On en déduit en particulier que les $X_{i}$ sont des variables aléatoires réelles gaussiennes.
La réciproque est fausse dans le cas général : par exemple, je lis que si $Z$ suit une loi normale $N(0,1)$ et $\varepsilon$ suit une loi de Bernouilli symétrique ($P(\varepsilon=1)=P(\varepsilon=-1)=\frac{1}{2})$), alors $Z$ et $\varepsilon Z$ sont gaussiennes mais $(Z,\varepsilon Z)$ n'est pas gaussien.
Comment montrer ces deux points ?
Pour montrer que $\varepsilon Z$ est gaussienne, j'ai procédé de manière un peu bourrine, à savoir j'ai déterminé sa loi, qui, sauf erreur de ma part, est aussi $N(0,1)$. Il y a certainement une manière plus subtile et plus rapide de procéder, mais je ne vois pas.
Même chose pour montrer que $(Z,\varepsilon Z)$ n'est pas gaussien : j'ai cherché un nombre $a>0$ tel que $Z+a\varepsilon Z$ ne soit pas gaussienne. Par exemple, j'ai trouvé que la densité de $Z+\frac{1}{2}\varepsilon Z$ n'est pas celle d'une loi gaussienne... mais là encore, je me doute que j'ai bêtement bourriné. Je suppose fortement qu'il existe un moyen de conclure en une ligne, mais lequel ?

Enfin, si j'ai bien compris, si l'on rajoute une condition d'indépendance mutuelle des $X_{i}$, alors la réciproque est vraie, mais là je ne vois pas du tout pourquoi...


Bref, toute aide est la bienvenue !

Merci beaucoup !

Amicalement.
Olivier.

corentin0

$\epsilon$ n'est pas supposé indépendant de Z?

Probaloser

- Pour montrer que $\epsilon Z$ est gaussienne, je fais pareil.


- Pour montrer que le couple n'est pas Gaussien, je fais le même genre de chose, mais avec Z+\epsilon Z (c'est plus expéditif, on a un Dirac 1/2 en 0...).


(Maintenant il y a peut-être plus simple, c'est ce que je m'étais demandé la dernière fois aussi...).

- Un couple de Gaussienne indépendante est Gaussienne (regarde la densité du couple / sa transformée de Fourier / ... ).

rodeo

J'ai fais ça en TD ya pas tongtemps
Je confirme juste la méthode de Probaloser, ça marche tout seul
Pour trouver, la loi de $\epsilonX$, on est passé par l'espérance et on a utilisé la parité de la gaussienne, ça vient tout seul, je vois pas d'autre méthode plus esthétique, on n'a que peu de résultats sur les produits de v.a.
Pour prouver qu'un couple de gaussienne indépendante est gaussienne, il me semble qu'on est passé par la fonction caract (j'ai pas mes td sous la main...)
Pour la réciproque, j'y réfléchi...


rodeo

Probaloser

rodeo : quelle question reste-t-il ?

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

Merci à tous pour vos réponses !

Pour Corentin : en effet, on suppose que $\varepsilon$ est indépendante de $Z$.
Pour Probaloser et Rodeo : bien vu, vous avez raison, pour montrer qu'un couple de variables aléatoires gaussiennes indépendantes est gaussien, ça marche bien en passant par la fontion caractéristique.

Encore merci pour votre aide.

Amicalement.
Olivier.