Spectre du laplacien

tonio6

Bonjour,

Je considère l'équation de la chaleur dans un ouvert borné $\Omega$ de $\R^3$ avec les conditions aux limites de Dirichlet au bord de $\Omega$ :
$$\dot{u} = \frac{1}{2}\Delta{u}$$

En fait, je sais que le spectre de $\frac{1}{2}\Delta$ avec les conditions de Dirichlet est composé de nombres réels strictement positifs. Mais je cherche à montrer que les valeurs propres sont isolées et notamment qu'il existe une plus petite valeur propre strictement positive.

Voilà, si quelqu'un a des idées ...

Merci,

tonio

DjArt

Ca depend de l'espace je pense. Si tu te place dans L'espace de Sobolev d'indice 1 (desole mais j'ecris en toute lettre, l'apercu LaTeX fait n'importe quoi j'ai pas confiance) alors 0 n'est pas valeur propre, en utilsant l'inegalite de poincarre on montre que si c'etait le cas le vecteur propre serait de norme nulle.

Maintenant si tu considere une suite de valeurs propres qui tend vers zeros, et la suite des vecteurs propres de norme 1 correspondante, et bien comme l'espace fonctionnel est compact tu peux en extraire une suite convergent vers une fonction qui va je pense etre vecteur propre associe a 0. Or ce n'est pas possible

tonio6

merci,

En fait, je me place dans $L^2(\Omega)$ et du coup, je ne sais pas si on peut appliquer l'inégalité de Poincaré...

inconnu

En tant qu'operateur de L2 dans L2 de domaine H1,0 (espace de Sobolev), la premiere valeur propre du Laplacian (mais en fait de -Delta) est strictement positif. C'est connu et decoule directement de l'injection compacte de H1,0 dans L2. Le reste des valeurs propres est une suites qui tend vers l'infini, . Mais toute les valeurs propres ne sont pas simples.
Peut-etre ais-je mal compris la question ?

tonio6

non, non, tu as bien compris la question.

Merci pour l'indication,

tonio

inconnu

Pour le fait que les valeurs propres sont isoles, ca vient aussi de l'injection compacte : l'operateur resolvant (l'inverse du - laplacian) est donc compacte, d'ou le resulat.
Pour l'injection compacte les hypothese sur Omega sont faibles : pas besoin de bord smooth, seulement bornee dans une direction, ou de volume fini doit suffire.

tonio6

OK, merci