Espérance conditionnelle

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

On sait (d'après le lemme de Doob), que si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé $(\Omega, A, P)$, alors il existe une fonction borélienne $h$ telle que $E(X|Y)=h(Y)$. Pour $y\in \R$, l'espérance conditionnelle $E(X|Y=y)$ est alors égale, par définition, à $h(y)$ .

Quelque chose me gêne dans cette définition : le lemme de Doob n'assure pas l'unicité de la fonction borélienne $h$. Si $g$ est une autre fonction borélienne telle que $g(Y)=E(X|Y)$, on n'a donc pas nécessairement $g(y)=h(y)$ pour tout réel $y$. Comment peut-on être sûr dans ce cas que $E(X|Y=y)$ est bien définie ?
Il me vient une réponse : si $y=Y(\omega)$, alors $h(y)=h(Y(\omega))=g(Y(\omega))=g(y)$... donc, pas de problème si $y$ est dans l'image de $Y$. Sinon, que se passe-t-il ? Est-ce que l'on pose $E(X|Y=y)=0$ ? ou est-ce que l'on considère que l'expression $E(X|Y=y)$ n'a de sens que si $y$ est dans l'image de $Y$ ?

Autre chose... j'ai sous les yeux la preuve que si ma loi du couple $(X,Y)$ a pour densité $f(x,y)$, alors on peut choisir : $h(y)=E(X|Y=y)=\frac{\int_{\R}xf(x,y)dx}{\int_{\R}f(x,y)dx}$, lorsque $\int f(x,y) dx >0$.
Voici ce qui est écrit :

"Soient $C$ un borélien, et $B=Y^{-1}(C)$. Comme la la loi de $Y$ a pour densité $\int_{\R}f(x,y)dx$, on a :

$\int_{Y^{-1}(C)}h(Y)dP$
$=\int_{y\in C}h(y)\(\int_{\R}f(x,y)dx\)dy$
$=\int_{\R}\int_{y\in C}xf(x,y)dx\,dy$
$=\int_{Y^{-1}(C)}XdP$


Et donc, $h(Y)=E(X|Y)$."

J'ai du mal à comprendre l'égalité :
$\int_{\R}\int_{y\in C}xf(x,y)dx\,dy
=\int_{Y^{-1}(C)}XdP$
Si j'ai bien compris, l'auteur utilise le théorème de transport, mais j'aurais personnellement plutôt écrit quelque chose du genre :

$\int_{Y^{-1}(C)}XdP=\int_{\Omega}I_{C}(Y(\omega))X(\omega)dP
(\omega)$.

Et après, blocage... je vois mal comment utiliser le théorème de transport ici.

Si quelqu'un veut bien éclairer ma lanterne !

Merci d'avance !

Amicalement.
Olivier.

Reï-Vi-Lhô

Re,

La fin de mon message est mal passée... lire plutôt :


J'ai du mal à comprendre l'égalité :

$\int_{\R}\int_{y\in C}xf(x,y)dx\,dy
=\int_{Y^{-1}(C)}XdP$

Si j'ai bien compris, l'auteur utilise le théorème de transport, mais j'aurais personnellement plutôt écrit quelque chose du genre :

$\int_{Y^{-1}(C)}XdP=\int_{\Omega}I_{C}(Y(\omega))X(\omega)dP
(\omega)$.

Et après, blocage... je vois mal comment utiliser le théorème de transport ici.

Si quelqu'un veut bien éclairer ma lanterne !

Merci d'avance !

Amicalement.
Olivier.

Probaloser

Pour la première question : il n'y a pas unicité.
Plus précisément, l'espérance conditionnelle n'est uniquement défini qu'au sens de l'égalité presque sûrement (si $A$ et $B$ sont deux v.a. vérifiant les conditions demandées pour l'espérance conditionnelle de .. alors $A=B$ presque sûrement.

Alain Debreil

$$\int_{Y^{-1}(C)}X\,dP=\int_{\Omega}I_{C}(Y(\omega))X(\omega)\,dP(\omega)$$

Probaloser

Pour le deux il utilise simplement le fait que la loi de $(X,Y)$ admet $f$ pour densité.

Reï-Vi-Lhô

Ok, merci beaucoup Probaloser !
Et merci aussi à Alain Debreil d'avoir corrigé mes erreurs de Latex !

Amicalement.
Olivier.