Différentielle

Bonjour,

Si $f$ est une fonction différentiable de $R^{n}$ dans $R^{n}$
alors ( en notant $D_{h}(f)(x)$ la dérivée suivant le vecteur h) on a si $u$ et
$v$ sont deux vecteurs

$$D_{u+v}(f)(x)=D_{u}(f)(x)+D_{v}(f)(x)$$

La propriété tient elle encore lorque l' on suppose f seulement continue et admettant une dérivée selon toute les directions en x?

merc d' anvance

francois

Réponses

  • Contre-exemple : la fonction $f$ de $\C$ dans $\R$ donnée par $f(\rho e^{i\alpha})=\rho g(\alpha)$ où $g$ est une fonction continue de $R/2\pi\Z$ dans $\R$ telle que $g(0)=g(\pi/2)=0$ et $g(\pi/4)=1$.

    Prendre ensuite pour $u$ et $v$ les vecteurs de la base canonique de $\R^2$.

    Bien sûr, tout cela est très géométrique.
  • Excuse Moi Probaloser
    je doit me tromper mais je pense qu' il y a un problème dan ton exemple si l' on suppose g dérivable la propriété que je présente tient encore.
    Ici je parle de la linéarité de l' operateur de dérivation directionnelle par rapport
    aux vecteur qui définissent la direction de dérivation.

    fracois
  • Sauf erreur, ma fonction $f$ est continue partout, dérivable en $x=0$ selon toutes les directions et ne vérifie pas la linéarité donc tu parles en $x=0$.

    Mais je suis peut-être fatigué...
  • Je note ta fonction $f(\rho,\alpha)$
  • Oups petite erreur


    Je note ta fonction $f(\rho,\alpha)=\rho g(\alpha)$
    on a clairement $f(0,0)=0$
    donc $$lim \frac{f(\rho-u—1t,\alpha-u—2 t)}{t}=lim u—{1}g(-tu—{2})=0$$ quand t tend vers 0 et ce quelque soit le vecteur $(u—{1},u—{2}).$
    donc la linéarité est conservé.

    Je ne vois pas ou je fais l' erreur.
  • Je ne comprend pas ce que tu calcules. On dirait que tu t'embrouilles en sommant les coordonnées polaires d'un vecteur et les coordonnées cartésiennes d'un autre...

    Calcule les dérivées partielles en $0$ selon les directions données par les vecteurs de base, puis par leur somme (bref ce qui était suggéré dans le premier message).
  • $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{f(\rho-u_1t,\alpha-u_2 t)}{t}=\lim\limits_{t\to 0} u_{1}g(-tu_{2})=0$ et ce quelque soit le vecteur $(u_{1},u_{2}).$\\
    donc la linéarité est conservée.
  • ok, j' ai compris



    merci
  • En faite non
    En polaire
    On a $gradf=g(\alpha) e_{r} + g'(\alpha) e_{\theta}$
    donc $gradf(0,0)=g'(0) e_{y}$
    donc

    $$D_{ey}(f)(0,0)=g'(0)$$ et $$D_{ex}(f)(0,0)=0$$

    et $$D_{ey+ex}(f)(0,0)=g'(0)$$

    le truc illisible est le vecteur $ex$ de coordonnée $(1,0)$ en cartesienne

    ou est l' erreur?
  • Salut,

    Comment peux-tu parler de gradient si tu n'as pas montré que la fonction était différentiable ? Si tu supposes la conclusion...
  • je ne cherche pas a montrer que la fonction est differentiable et je le suppose car si l' on reprend l' exemple de probaloser il doit etre vrai avec une fonction g C1 et donc f différentiable
  • Il vaut mieux remarquer que $f$ est identiquement nulle sur les axes de coordonnées $\R e_x$ et $\R e_y$, donc les dérivées dans ces directions sont nulles et si la propriété était vraie on aurait $D_{e_x+e_y} f = 0$.


    D'ailleurs c'est peut-être moi qui fatigue mais la dérivée directionnelle est un nombre, pas une fonction, pas vrai ? (je dis ça parce que dans ton preier post tu écris $D_h f(x)$ mais c'est peut-être unee erreur d'étourderie).


    Bref, revenons à nos moutons, on voit bien que pour tout vecteur unitaire $e_{\alpha}$ la dérivée directionnelle selon $e_{\alpha}$ vaut $g(\alpha)$. Donc avec la fonction de Probaloser on a $D_{e_x+e_y}f=\sqrt{2} g(\pi / 2) \neq 0$.


    Le mieux est de le voir géométriquement : le graphe de $f$ est une surface trop "gondolée" pour être approchée par un plan tangent. On voit bien que s'il y a une pliure sur une surface, alors le vecteur tangent dans le sens de la pliure ne peux pas être égal à la moyenne de deux vecteurs tangents situés de part et d'autre de la pliure non ?
  • Smallux : les coordonnées polaires en l'origine c'est un peu singulier (bref c'est pas correct a priori comme démarche). Il y a aussi le soucis signalé par Pitou.

    Je ne comprend pas très bien pourquoi tu t'échines à chercher à utiliser de choses compliquées...

    Si $v$ est un vecteur du plan de coordonnées $(a\cos(\alpha),a\sin(\alpha))$, alors
    $$
    \frac{f(tv)-f(O)}{t}=\frac{tag(\alpha)}{t}
    $$
    converge vers $ag(\alpha)$.
  • >
    Non, $g$ différentiable n'entraine pas $f$ différentiable (singularité en $0$ du passage en polaire).

    (Quelles sont les coordoonées polaires de l'origine ?!).

    Par ailleurs, dans tes deux premières formules de 12:35, même si la première est vrai e dehors de l'origine (je n'en sais rien), et même en supposant qu'elle est vrai en l'origine (ce qui ne peux être vrai cu que ca n'a pas de sens, cf la suite) qu'a tu fais pour passer de la première à la deuxième formule ?
  • Ok j' ai vu ou je m' était planté mais ce genre de considération géometrique est assez difficile pour moi car le calcul est quelque chose d' assez nouveau et je n' ai donc aucune vision geometrique de ca

    merci encore
  • J' ai fait n' importe quoi. La formuke n' est pas vrai car comme vous le faites tous les deux remarquer il y a la singularité à l' origine et le fait d' appliquer la formule sans réflechir( cerveau sur mode off) laisse falacieusement croire que ca marche encore.

    Enfin la notation $D_{h}f(x)$ ce lit dixit mon cours de calcul diff dérivé de $f$ en $x$ suivant $h$ donc il s' agit bien d' un nombre et non pas d' une fonction
  • Ok pour la notation, tu as raison, désolé. Il faut donc rajouter $(0)$ partout dans mon bidule parce que je ne parle que de dérivées en l'origine.

    L'intuition géométrique, je pense que c'est qu'on doit faire marcher avant le calcul, qui lui sert à confirmer 'intuition. Mais bon, c'est vrai que c'est certainement en faisant d'abord des exos "à l'aveugle" qu"on l'acquiert. De manière générale la méthode simple employée par Probaloser est la plus efficace : écrire le taux de variation et étudier sa limite !

    Quand à $g$ $C^1$ implique $f$ $C^1$ c'est bien sûr faux. Il n'est pas dur de trouver $g$ et $h$ de classe $C^{\infty}$ sur $\R / 2 \pi \Z$ et $\R_+^*$ respectivement, telles que $f(re^{i \theta}):=h(r)g(\theta)$ ne soit pas prolongeables par continuité en $0$, ou alors prolongeable par continuité mais dérivable dans aucune direction. Les coordonnées polaires, ça sert justement à construire des exemples pathologiques, donc il faut faire gaffe...
  • <<
    De manière générale la méthode simple employée par Probaloser est la plus efficace : écrire le taux de variation et étudier sa limite !
    >>

    Je ne suis pas sûr d'être d'accord avec cette phrase. Quand la fonction est construite à partir de fonction différentiables, on a d'autres techniques efficaces (je pense aux sommes, produits, composées... d'applications différentiables).

    Par contre, quand on n'est pas dans cadre, se souvenir que la dérivée n'est que la limite d'un taux d'accroissement est souvent effectivement une bonne idée (et c'est aussi utile dans d'autres cas).
  • J' ai fait n'importe quoi. La formule n'est pas vraie car comme vous le faites tous les deux remarquer il y a la singularité à l' origine et le fait d'appliquer la formule sans réflechir (cerveau sur mode off) laisse falacieusement croire que ça marche encore.

    Enfin la notation $D_{h}f(x)$ ce lit, dixit mon cours de calcul diff, dérivé de $f$ en $x$ suivant $h$ donc il s'agit bien d'un nombre et non pas d'une fonction
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