Intégrale à paramètre

Jean Vingt-trois

Bonjour,

Une idée pour le calcul de $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(at)-\cos(bt)}{t}\text{d}t$ ?
L'existence en $+\infty$ s'obtient par intégrations par parties.

Math Coss

Peut-être en introduisant $f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(at)-\cos(bt)}{t}\mathrm{e}^{-xt}\mathrm{d}t$ et en dérivant par rapport à $x$ ?

lale

Prendre l'intégrale de x à y , couper en 2 faire dans les 2 intégrales les changements de variable u= at
et u =bt .

Ensuite on a 2 intégrales l'une de ax à bx, l'autre de ay à by .
Il reste à étudier les limites quand x tend vers 0 et y vers l'infini

P.

$$\int_0^X\frac{\cos bx- \cos ax}{x}dx=\int_0^X\left(\int_a^b\sin tx\, dt\right)dx=\int_a^b(\cos Xt-1)\frac{dt}{t}$$ On integre par parties et on fait $X\to \infty$ pour trouver sauf erreur $a-b-\log (b-a)$ comme limite.

lale

je trouve $ln(\frac{b}{a})$

P.

Ouais, m'sieur, je voulais dire $\log (b/a)$ et non $\log (b-a)….$ Bon je detaille
$$\int_a^b(\cos Xt -1)\frac{dt}{t}=\left[\frac{1}{t}(\frac{\sin Xt}{X}-t)\right]_a^b+\int_a^b(\frac{\sin Xt}{X}-t)\frac{dt}{t^2}\to_{X\to \infty}=\left[-1\right]_a^b -\int_a^b\frac{dt}{t}=a-b-\log(b/a).$$

rakam

Bonjour !
Par changement de variables, en prenant $0<u<v$, $$\int_u^v\frac{\cos(at)-\cos(bt)}t\mathrm{d}t=\int_{au}^{bu}\frac{\cos t}t\mathrm{d}t-\int_{av}^{bv}\frac{\cos t}t\mathrm{d}t$$
Pour passer à la limite pour $u=0$ tu écris $\dfrac{\cos t}t-\dfrac1t+\dfrac1t$
Pour passer à la limite en $v=+\infty$ tu fais une intégration par parties.

Jean Vingt-trois

Merci à tout le monde pour les diverses méthodes. Je pense que celle avec $e^{-xt}$ ne doit pas marcher
à cause de la non intégrabilité en $x=0$.

Math Coss

La non-intégrabilité n'empêche pas la continuité lorsque $x$ tend vers $0$.

Fin de partie

Sauf erreur,

Par intégration par parties, on montre que:

\begin{align}I(a,b)&=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\cos(at)-\cos(bt)}{t}\text{d}t\\
&=\int_0^\infty \dfrac{\dfrac{\sin(ax)}{ax}-\dfrac{\sin(bx)}{bx}}{x}\,dx\end{align}

On considère la fonction $F(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ définie sur l'intervalle $[0;\infty[$ avec $F(0)=1$.

\begin{align}I(a,b)&=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{F(ax)-F(bx)}{x}\text{d}x\\
\end{align}


$F(0)=1$ et $\lim_{x\rightarrow \infty}F(x)=0$

On peut appliquer le théorème de Frullani ( https://en.wikipedia.org/wiki/Frullani_integral ):

\begin{align}I(a,b)&=\left(F(0)-F(+\infty)\right)\ln\left(\frac{b}{a}\right)\\
&=\ln\left(\frac{b}{a}\right)\end{align}