Topologie de la convergence simple

Bonjour, je me posais aujourd'hui une question peut-être pas très utile mais si quelqu'un avait une réponse à m'apporter...
Si on prend $X$ un ensemble quelconque et $Y$ un espace topologique, la topologie de la convergence simple est-elle métrisable sur $\mathcal F(X,Y)$ ?
De même si $(Y,d)$ est un espace métrique, peut-on métriser la topologie de la convergence simple ? La norme uniforme ne fonctionne pas car la topologie de la convergence simple est strictement moins fine que celle de la convergence uniforme.
Si vous aviez des exemples de cas où cela est possible et où cela ne le serait pas... merci !

Réponses

  • J'ai résolu une partie de mon problème car $(\mathcal F(X,Y),\mathcal T_{cs})$ est homéomorphe à $(\prod_{x\in X} Y_x,\mathcal T_p)$ où $Y_x=Y$ et $\mathcal T_p$ la topologie produit. Comme celle ci n'est pas métrisable quand $X$ est infini non dénombrable il en est de même pour $\mathcal F(X,Y)$. Cependant, si $Y$ est séparé, $\mathcal F(X,Y)$ est aussi séparé donc c'est un exemple d'espace séparé non métrisable et si on prend $Y$ compact et séparé on a même un exemple d'espace compact séparé et non métrisable, c'est sympa :-D.

    Mais du coup, si $X$ est au plus dénombrable et que $Y$ n'est pas métrique mais disons quand même séparé, a-t-on une chance de métriser la TCS sur $\mathcal F(X,Y)$ ?
  • Si $Y$ n'est pas métrisable, et que $X = \{x\}$, je dirais qu'on est mal partis.

    (et spontanément, je dirais que plus il y a de points dans $X$, pire c'est !)
  • Si $X$ est non vide et $\mathcal{F}(X,Y)$ est métrisable, alors $Y$ aussi parce que l'injection 'application constante' $Y\to \mathcal{F}(X,Y)$ est alors un plongement : elle identifie $Y$ à un sous-espace de $\mathcal{F}(X,Y)$ (amusant : je vérifiais la preuve dans ma tête et n'y arrivais pas sans dire "soit $x\in X$" et je me suis rendu compte qu'évidemment, c'était faux pour $X$ vide et donc j'ai rajouté l'hypothèse)
  • Ah oui bien vu Maxtimax donc c'est bon le problème est totalement réglé merci ! :-)
  • Pas "plus fine", mais plutôt "plus grossière".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • En effet Christophe c'est bien plus grossière et pas plus fine, j'ai souvent tendance à inverser
  • Rebonjour,
    Je ne suis pas entièrement satisfait de la réponse de Maxtimax finalement car en effet si $\mathcal F(X, Y) $ muni de la TCS est metrisable, alors on va pouvoir munir $Y$ d'une distance grâce à cette injection. Cependant $Y$ est un espace topologique à la base et rien ne dit que la distance induite par cette injection va métriser la topologie de $Y$, j'imagine même que ce soit possible que les deux topologies que l'on obtient sur $Y$ puissent ne pas être comparable.

    Ou peut être que je m'embrouille juste ce sera sûrement plus clair ce soir...
  • Senpai : j'ai bien fait attention de dire que l'injection $ Y \to \mathcal{F}(X,Y) $ était un plongement, autrement dit un homéomorphisme sur son image; ou encore autrement dit, la topologie de sous espace qu'elle induit sur $ Y $ est la topologie de $ Y $
  • Ah oui je n'avais pas assez fait attention au mot plongement, merci!
  • Si $X$ est dénombrable (notons $X = \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}$) et $Y$ est métrisable avec la distance $d$, alors la topologie de la convergence simple sur $\mathcal{F}(X,Y)$ est métrisable avec la distance $d'(f,g) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{2^n} \min(d(f(x_n),g(x_n)),1)$.
  • @senpai
    La norme uniforme ne fonctionne pas car la topologie de la convergence simple est strictement plus fine que celle de la convergence uniforme.

    Je t'envoie ce post pour que tu penses, si tu as le temps à corriger, on en a déjà parlé plus haut, mais je dis ça pour que le cerveau des visiteurs occasionnels ne se le fassent pas entrer dans le crâne subliminalement et souffrent ensuite inutilement de se dire "j'ai lu quelque part que". Pardon, ne le prends pas mal, je ne suis pas "habilité" à dire aux gens ce qu'ils doivent écrire, c'est juste une proposition.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Oui oui bonne idée Christophe je viens de le faire.
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