Égalité d'anneaux

courage

Bonsoir

Soient $A$ un anneau commutatif unitaire et $I$ un idéal de $A$.
On a : $A + I=A$

S'il vous plaît, ceci vient du fait que :
1) $A + I$ = $ \langle {A \cup I }\rangle=\langle A \rangle$
ou bien, c'est un résultat du 2-éme théorème d'isomorphisme :
2) $\frac{A+I}{I} \cong \frac{A}{A\cap I}=\frac{A}{I} \implies A + I \cong A .$
Merci.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement les termes un à un. ;-) AD]

Dom

$I$ n’est-il pas en particulier un sous-groupe additif de $A$ ?

Ainsi $I$ contient $0$...

Éventuellement on peut dire : $A+I$ inclus (évidemment, pourquoi ?) dans $A$.
Puis démontrer l’autre inclusion (en utilisant ma remarque sur le $0$).

courage

Salut @Dom

1) $I \subset A$ et $A \subset A$ donc $A+I \subset A$

2) Soit $a\in A $, on a $0 \in I$ donc , $a = a + 0 \in A+I$ , d'où $A \subset A+I$

ou bien

$1 \in A $ et $0 \in I$ donc $1+0 =1 \in A+I$ , d'où $A+I=A$