Les $p$-groupes sont nilpotents
Bonjour,
Si on prend pour définition de groupe nilpotent la définition suivante : $G$ est nilpotent lorsque la suite $C^0 = G$, $C^{n+1} = [G,C^n]$ stationne à $1$. De quelle(s) proposition(s) a-t-on besoin pour montrer que les $p$-groupes sont nilpotents ?
Sachant que le centre d'un $p$-groupe n'est jamais trivial il suffirait de montrer que $G$ est nilpotent lorsque $G/Z(G)$ l'est pour amorcer une récurrence, comment établir $G$ est nilpotent quand $G/Z(G)$ l'est ?
Si on prend pour définition de groupe nilpotent la définition suivante : $G$ est nilpotent lorsque la suite $C^0 = G$, $C^{n+1} = [G,C^n]$ stationne à $1$. De quelle(s) proposition(s) a-t-on besoin pour montrer que les $p$-groupes sont nilpotents ?
Sachant que le centre d'un $p$-groupe n'est jamais trivial il suffirait de montrer que $G$ est nilpotent lorsque $G/Z(G)$ l'est pour amorcer une récurrence, comment établir $G$ est nilpotent quand $G/Z(G)$ l'est ?
Réponses
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Il te suffit de prouver la généralisation suivante : si $G/H$ est nilpotent, où $H$ est un sous-groupe central, alors $H$ l'est aussi.
Preuve : Soit $n$ tel que le $C^n$ de $G/H$ est nul. Alors le $C^n$ de $G$ est inclus dans $H$. Bon... -
Et comme $H \subset Z(G)$ on a $[H,G] = 1$ et c'est terminé. Merci B-)
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