Lieu de points, produit scalaire

Bonjour,

J'aurais souhaité savoir comment vous auriez déterminé l'ensemble $E$ des points $M$ du plan vérifiant :
$\vec{MA}\cdot \vec{MB} + \vec{MB}\cdot \vec{MC} + \vec{MC}\cdot \vec{MA} = 0$.

Pour ma part, j'ai essayé plusieurs pistes.

1re méthode : En disant que :
$ 2 \vec{MA}\cdot \vec{MB} = {MA}^2+{MB}^2 - {AB}^2$,
$ 2 \vec{MB}\cdot \vec{MC} = {MB}^2+{MC}^2 - {BC}^2$,
$ 2 \vec{MC}\cdot \vec{MA} = {MA}^2+{MC}^2 - {AC}^2$,
j'obtiens que :
$M\in E \Longleftrightarrow 2{MA}^2+ 2{MB}^2+2{MC}^2 = {AB}^2 + {BC}^2 + {AC}^2$

Donc en considérant le centre de gravité $G$ de $ABC$, j'en déduis que :
$ {MG}^2 = \frac 1 2 ( {AB}^2 + {BC}^2 + {AC}^2 ) - {GA}^2-{GB}^2-{GC}^2$.

Le problème ici, c'est que je ne sais pas si $\frac 1 2 ( {AB}^2 + {BC}^2 + {AC}^2 ) - {GA}^2-{GB}^2-{GC}^2>0$ ou non.

2e méthode : En considérant directement le centre de gravité de $ABC$, je trouve que :
$M\in E \Longleftrightarrow 3{MG}^2 +\vec{GA}\cdot \vec{GB} + \vec{GB}\cdot \vec{GC}+\vec{GC}\cdot \vec{GA} =0$.

3e méthode : Soient $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$. Alors :
$ \vec{MA}\cdot \vec{MB} = {MI}^2- {AI}^2$,
$ \vec{MB}\cdot \vec{MC} = {MJ}^2- {BJ}^2$,
$ \vec{MC}\cdot \vec{MA} = {MK}^2- {CK}^2$,
et ainsi :
$M\in E \Longleftrightarrow {MI}^2 + {MJ}^2 + {MK}^2 ={AI}^2+{BJ}^2+ {CK}^2$.

Mais je reviens à la même chose que dans ma 1re méthode, je prends le centre de gravité de $IJK$. Bref, j'ai l'impression de tourner en rond...

Cordialement,
:-)

Réponses

  • Bonjour,

    Ta deuxième méthode est impeccable. Elle mène au cercle de centre $G$ et de rayon $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{18}}$, $a,b,c$ étant les longueurs des côtés du triangle $ABC$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • D'accord, je regarde ça.
  • Bonjour,

    Les deux autres méthodes fonctionnent également et les trois sont équivalentes.
    Dans tous les cas, tu as du Chasles au carré et de la formule de la médiane.
    D'autre part $ABC$ et $IJK$ ont même centre de gravité.

    Cordialement,

    Rescassol
  • D'accord, merci à vous deux. Il y aurait-il une autre méthode ?
  • Bonjour,

    Je suis un et indivisible :-D

    Cordialement,

    Rescassol
  • Me revoilà pour une autre question. Je sais traiter de manière générale la détermination des ensembles de la forme $\vec{AM}\cdot \vec{AB}=k$, avec $k$ réel, mais comment faire pour ceux de la forme $\vec{MA}\cdot \vec{MB}=k$ ?
  • Bonjour,

    M'enfin !!!!!!!!................. $MI^2=IA^2+k$ :-X

    Cordialement,

    Rescassol
  • Oulah oui ! c'est direct ;)

    Merci !
  • Une autre question, j'ai deux ensembles $\Delta $ et $\Gamma_k$ respectivement donnés par l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant $\vec{AM}\cdot \vec{AB}=0$ et $\vec{MA}\cdot \vec{MB_k}=0$, où $B_k$ est le point donné par $\vec{AB_k}=k \vec{AB}$ et $k>0$. $\Delta $ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$ et quel que soit $k>0$, $\Gamma_k$ est le cercle de diamètre $[AB_k]$. Ma question est, a-t-on $\lim_{k\to \infty}\Gamma_k = \Delta$ ? J'ai pensé à ça car si l'on note $\vec{AB_\infty} := \lim_{k\to \infty} \vec{AB_k}$, alors $\vec{AB_\infty}$ est colinéaire à $\vec{AB}$. Mais ce qui me dérange, c'est que j'aurais voulu passer à la limite sur des réels, pas sur des vecteurs. Par exemple, si on pouvait caractériser les ensembles par des équations algébriques (combinaisons linéaires de carrés de distances dont les coefficient dépendent de $k$).

    Cordialement,
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