Caractère parfait des $SL_n(k)$

Bonjour,

Je cherche des exemples de groupe parfait (égal à leur groupe dérivé) d'ordre infini, il parait que les $SL_n(k)$ pour $k$ un corps non fini conviennent, comment prouver cela disons en caractéristique nulle puisque le cas général m'importe peu ?

Réponses

  • Sketch de preuve : 1- $SL_n(k)$ est engendré par les transvections $T_{i,j}(\alpha) := I_n+\alpha E_{i,j}$ avec $i\neq j$ (preuve : pivot de Gauss)
    2- $T_{i,j}(\alpha)^{-1} = T_{i,j}(-\alpha)$ donc $[T_{i,j}(\alpha), T_{k,l}(\beta)]$ est facile à calculer
    3- Conclure

    Cette preuve marche dès que $|k|\geq 3$ je crois (ou peut-être $4$, les cas plus petits marchant pour $n$ assez grand. Mais $SL_2(\mathbb{F}_2) = GL_2(\mathbb{F}_2)$ a $6$ éléments donc c'est $\mathfrak{S}_3$ qui n'est pas parfait)

    EDIT : side a été plus rapide
  • Suivant Wikipedia, on peut remarquer que $\bigl[ T_{12}(x),T_{23}(y) \bigr] = T_{13}(xy) $.
  • Oui en effet, le résultat est vrai pour tout corps $n$ et tout $k$ sauf deux cas pathologiques $SL_n(\mathbb{F}_2)$ et $SL_2(\mathbb{F_3)}$ mais bon comme j'ai déjà les groupes alternés comme exemple de groupe fini parfait j'ai décidé de pas m’encombrer ! Merci en tout cas
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