Caractère parfait des $SL_n(k)$
Réponses
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supp
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Sketch de preuve : 1- $SL_n(k)$ est engendré par les transvections $T_{i,j}(\alpha) := I_n+\alpha E_{i,j}$ avec $i\neq j$ (preuve : pivot de Gauss)
2- $T_{i,j}(\alpha)^{-1} = T_{i,j}(-\alpha)$ donc $[T_{i,j}(\alpha), T_{k,l}(\beta)]$ est facile à calculer
3- Conclure
Cette preuve marche dès que $|k|\geq 3$ je crois (ou peut-être $4$, les cas plus petits marchant pour $n$ assez grand. Mais $SL_2(\mathbb{F}_2) = GL_2(\mathbb{F}_2)$ a $6$ éléments donc c'est $\mathfrak{S}_3$ qui n'est pas parfait)
EDIT : side a été plus rapide -
Oui en effet, le résultat est vrai pour tout corps $n$ et tout $k$ sauf deux cas pathologiques $SL_n(\mathbb{F}_2)$ et $SL_2(\mathbb{F_3)}$ mais bon comme j'ai déjà les groupes alternés comme exemple de groupe fini parfait j'ai décidé de pas m’encombrer ! Merci en tout cas
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supp
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