Famille normale - fonctions entières

Bonjour tout le monde et bon dimanche de Pâques!

Je me pose certaines questions sur les fonctions entières et les familles normales. Travaillant sur le sujet en ce moment, je constate une forme de dualité entre les notions de famille normale et fonctions entières mais je n'arrive pas à vraiment saisir le truc.
La dualité de laquelle je parle est qu'une famille de fonctions holomorphes sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$ vérifiant une certaine propriété va être une famille normale si on ne peut pas trouver de fonction entière non constante vérifiant cette propriété.

Est ce que mon sentiment est vrai ?

Par exemple si l'on prend un ouvert $U$ de $\mathbb C$, $a \in\mathbb C$ et $r>0$ alors la famille $\{f \in H(U), f(U) \cap D(a,r) = \emptyset \}$ est une famille normale. Or cela n'est pas possible pour une fonction entière non constante d'éviter un disque entier par le théorème de Liouville. On a de même si l'on remplace un disque par un segment de longueur non nulle. On a même les résultats suivant:

Si une famille de fonctions méromorphes d'un ouvert $U$ simplement connexe de $\mathbb C$ dans la sphère $\mathbb S^1$ évite trois valeurs distinctes ou plus alors cette famille est normale. C'est une conséquence du théorème de Montel et du théorème d'uniformisation de Riemann.

Par ailleurs on a également le résultat suivant qui est le théorème de Picard pour les fonctions méromorphes (tiré du livre de H et M Queffélec d'Analyse complexe chez C&M):

Soient $f$ et $g$ deux fonctions entières non identiquement nulles et soit $q=f/g: \mathbb C \rightarrow \mathbb S^1$ une fonction méromorphe qui évite trois valeurs distinctes de $\mathbb C \cup \{\infty\}$. Alors $q$ est constante.

Et on voit apparaitre le même phénomène que ce dont je parle au début de ce message mais en version 2.0 avec des fonctions méromorphes.

J'avais alors deux autres questions concernant la conséquence du théorème de Montel: peut-on trouver une famille de fonctions holomorphes évitant exactement deux valeurs de $\mathbb C$ et qui ne soit pas normale ? On sait par le petit théorème de Picard qu'aucune fonction entière non constante ne peut vérifier cette propriété cependant cette famille n'évite que deux valeurs (distinctes) et non trois ce qui ne permet pas de conclure avec la version du théorème que j'ai énoncé ici (peut-être existe-t-il une version où on passe de trois valeurs exceptionnelles à deux ?).

Merci beaucoup pour toutes les réponses que vous pourrez m'apporter pour m'éclairer!

Réponses

  • Je n'y connais rien en analyse complexe, mais
    peut-on trouver une famille de fonctions holomorphes évitant exactement deux valeurs de C et qui ne soit pas normale ?

    ressemble à ceci :
    Wikipedia - Fundamental normality test
    aussi cité ici :
    Wikipedia - Montel's theorem

    ... et ceci :
    une famille de fonctions holomorphes sur un ouvert $U$ de $\C$ vérifiant une certaine propriété va être une famille normale si on ne peut pas trouver de fonction entière non constante vérifiant cette propriété.

    ressemble à s'y méprendre à cette remarque :
    Relationship to theorems for entire functions
    mais je ne comprends absolument rien à l'article sur le principe d'André Bloch (théorème ? conjecture ? résultat faux mais un peu vrai quand même ?) ni le rapport avec le lemme de Zalcman
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