Résolution d'un système à 2 inconnues

simslay

Bonjour,

Je bloque sur ce système :

{ xy = 25 ; ln²x + ln²y = (5/2)*ln²5

Quelle est l'astuce pour le résoudre ?

Merci d'avance.

nicolas.patrois

Combien vaut ln x + ln y ?

simslay

ln x + ln y = ln xy
Cela nous donne donc :

ln x + ln y = ln 25
ln² x + ln² y = (5/2) * ln² 5

Je bloque toujours...

nicolas.patrois

X+Y=truc
X²+Y²=machin

Math Coss

Et XY = bidule, ça doit être utile à un moment, non ?

nicolas.patrois

Chhht… :-D

simslay

Oui j'y avais pensé mais ça ne m'aide pas...

nicolas.patrois

Donc X+Y=truc et XY=bidule, ça ne te dit rien ?

gerard0

Même si on ne connaît pas le truc S et P, une résolution par substitution est élémentaire (et intuitive pour tous ceux qui veulent vraiment trouver).

Cordialement.

simslay

Par substitution je trouve l'ensemble de solutions suivant = {(e((ln 25 - racine(5ln² 5 - ln² 25))/2), e((ln 25 + racine(5ln² 5 - ln² 25))/2)), (e((ln 25 + racine(5ln² 5 - ln² 25))/2), e((ln 25 - racine(5ln² 5 - ln² 25))/2)).

S et P je connais mais je ne vois pas comment obtenir XY=bidule...

nicolas.patrois

Et si X+Y=16, XY=39 ?
Essaie de simplifier tes solutions.

Math Coss

Une remarque en passant : $X^2+Y^2=(X+Y)^2-2\,XY$.

simslay

Je ne sais pas simplifier e((ln 25 - racine(5ln² 5 - ln² 25))/2), comment fait-on ?

nicolas.patrois

À l’aide des propriétés algébriques de ln ?

gerard0

Ça pique un peu les yeux de voir ce discriminant 5ln² 5 - ln² 25 non simplifié alors que les racines du trinômes sont assez élémentaires. je sais que maintenant on n'apprend plus ses tables de multiplication, mais ne pas voir que 25 est le carré de 5 !!!

Cordialement.