Changement de variable et formule de l'aire

Phare

Bonjour à tous

Soit $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ une fonction lisse. [small]($\Omega$ est borné )[/small]
Soit $A \subseteq \Omega$ un borélien.
Je souhaiterais montrer que:

$|f(A)| \leq \displaystyle \int_{A} |\det df|$

[small]($|f(A)|$ étant la mesure de l'image de A.)[/small]
Si $f$ était un difféomorphisme on pourrait utiliser un changement de variable (on aurait alors égalité).

Cette inégalité peut se prouver à l'aide de la terrible formule de l'aire que je n’écrirai pas en toute généralité ici, mais le cas spécial qui m’intéresse stipule que :

$\displaystyle \int_{A} |\det df|= \int_{\mathbb{R}^n} card\left(f^{-1}({y})\right)dy.$

Voilà le résultat en détail http://doc.sciencenet.cn/upload/file/201792094427442.pdf page 119.

Alors j'aurais plusieurs questions :
1. Auriez-vous une démonstration de la première inégalité qui n'utiliserait pas la formule de l'aire ?
2.Sauriez-vous montrer que $y\mapsto card(f^{-1}(y))$ est une fonction mesurable et que $f(A)$ est mesurable ?
3. Finalement auriez-vous une démonstration ''compréhensible'' de la formule de l'aire ?

Je vous remercie d'avance et suis intéressé par toute piste ou idée!

PS. Tant que j'y suis comment faire de belles grandes intégrales sur latex au lieu de ces laides choses ?

Bbidule

Comme cela ?
$$\displaystyle\int_{A} \left\vert \det df\right\vert=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} card\left(f^{-1}({y})\right)dy$$

Phare

@Bbidule
merci,
c'est beaucoup mieux comme ça

Poirot

Une ébauche de tentative d'esquisse de démonstration : approcher le borélien par des ouverts, invoquer le théorème de Sard pour dire qu'on peut supposer que $f$ n'admet pas de point critique sur ces ouverts, puis utiliser que $f$ est un difféomorphisme local via le théorème d'inversion locale. Je n'ai pas cherché à le faire sérieusement donc il se peut que ça coince.

Phare

@poirot
Merci!
Je commençais à désespérer, j'essairais de poster une rédaction dès que j'aurais du temps, l'inégalité semble être assez utile.

Corto

Pour tes intégrales tu peux aussi les mettre entre crochets ou doubles dollars.

La projection d'un Borélien n'est pas forcément un Borélien, donc $f(A)$ ne l'est pas forcément. Pour ce qui est de la mesurabilité au sens de Lebesgue je ne sais pas mais je ne serai pas étonné qu'il y ait aussi des problèmes. Dans le doute on peut toujours utiliser la mesure extérieure de Lebesgue.

Un autre plan de démonstration, basé sur celle du th. de changement de variables, pourrait être le suivant :
-montrer que la propriété est vraie si $f$ est affine.
-en déduire que la propriété est vraie si $f$ est affine par morceaux.
-Dans le cas général, approcher convenablement $f$ par une fonction affine par morceaux puis conclure.
Je pense que ça doit marcher mais je ne l'ai pas écrit.

Poirot : peut-être que j'ai mal compris mais il faut faire attention, le lemme de Sard ne dis des choses que sur l'images de l'ensemble des points critiques.

Poirot

Justement, comme on mesure $f(A)$, Sard nous dit que cela revient à mesurer $f(A \setminus S)$ où $S$ est l'ensemble des points où le jacobien de $f$ s'annule.

Corto

J'avais effectivement mal compris :-)

Phare

Re-
Merci encore Poirot, voilà une rédaction possible de démonstration:
Il faut cependant supposer f de dérivée bornée (sinon ça n'a pas trop de sens), et on montre alors l’inégalité pour $f\in C^1(\Omega)$:
On fait la preuve pour une fonction f$\in C^{\infty}$ et on conclut par densité.
On suppose d'abord que A est un ouvert.
Lorsque A est un ouvert (ou un fermé) f(A) est mesurable car c'est une union croissante de compacts qui sont mesurables.
On commence par remarquer que f est "presque partout un difféomorphisme local" au sens suivant:
Par le théorème de Sard $|f(A)|=|f(A\setminus C_f)|$ o`u $C_f$ est l'ensemble des points critiques de f.
Alors pour tout $x\in A\setminus C_f$, par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage ouvert de x tel que f soit un difféomorphisme de cet ouvert sur son image.
On pose pour tout $x\in A\setminus C_f, U_x$ une boule de centre x et de rayon suffisamment petit pour que f restreint à $U_x$ soit un difféomorphisme sur son image. Soit $K_n$ une suite exhaustive de compacts dans A.
Alors $|f(A\setminus C_f)| = \lim_{n\rightarrow+\infty} |f(K_n)|$.
Soit $n\in\mathbb{N}$, $ K_n \subset \cup _{x\in A\setminus C_f}U_x$ donc il existe $x_1,..., x_p\in A\setminus C_f$ tel que $K_n \subset U_{x_1}\cup...\cup U_{x_p}=U$.
On peut alors écrire U comme une union entre d'une part des ouverts disjoints $\tilde{U_i}$ dont chacun est inclus dans au moins un $U_{x_k}$ (ces ouverts sont en nombre fini) et d'autre part un fermé $C$ de mesure nulle (faire un dessin!).
Donc $$|f(K_n)|\leq |f(U)|\leq \sum_{i}|f(\tilde{U_i})|+|f(C)|$$ mais $f(C)$ est de mesure nulle car f est lipschitzienne. Donc:
$$|f(K_n)|\leq \sum_{i}|f(\tilde{U_i})|= \sum_{i} \int_{\tilde{U_i}} |det\phantom{.} df|= \int_{ \uplus_{i}\tilde{U_i}} |det\phantom{.} df| \leq \int_{A} |det\phantom{.} df|$$
La première égalité est obtenue par la formule classique de changement de variables. On conclut alors en passant à la limite.
Pour A mesurable quelconque on conclut par la régularité extérieure de la meure de Lebesgue (On considère une suite $U_n$ d'ouverts contenants A tel que $|U_n|\rightarrow|A|$)

P.S: Merci aussi Corto, ton idée semble aussi fonctionner.

Krokop

Phare où est-ce que tu utilises $f\in\mathcal{C}^\infty$ ? Ta preuve marche directement avec $f \in C^1$, ou alors j'ai mal lu, en même temps tu devrais mettre un peu d'air :-D.

Phare

@krokop
Le théorème de Sard?
Oui c'est pas aéré, j'essaierais de la rendre plus lisible plus tard.