Contre-exemples topologiques

Bonjour tout le monde, j'aimerais connaître tous vos exemples de topologies peu importe sur quels ensembles, qui fournissent des contre-exemples à des énoncés purement topologiques.

Par exemple, auriez-vous un exemple d'un espace topologique non muni de la topologie discrète pour lequel une de ses parties est discrète pour la topologie induite mais non dénombrable ?

Réponses

  • Exemple un peu idiot : $X=[1,2]\cup[3,4]$, avec pour ouverts les réunions d'une partie quelconque de $[3,4]$ et de l'intersection d'un ouvert de $\R$ avec$ [1,2]$. La partie $[3,4]$ est discrète pour la topologie induite mais non dénombrable.
  • Tu peux par exemple prendre un Hilbert à base hilbertienne non dénombrable. Une base hilbertienne de cet espace est alors discrète (deux points distincts sont à distance $\sqrt 2 $ l'un de l'autre) et c'est bien un ensemble non dénombrable.

    Autres exemples :
    -Toutes les suites à valeurs dans $\{0;1\}$ de $\ell^\infty$.
    -Tous les $(\alpha, 0 )$ avec $\alpha\in \Omega$ de la longue droite.
    -On prend une réunion disjointe (non dénombrable) de segments $[0;1]$ puis on met sur cet espace la distance $d(x,y) = 1$ si $x$ et $y$ ne sont pas sur le même segment et $|x-y|$ sinon. Une famille ayant un point dans chaque segment est non dénombrable et discrète.
    etc.
  • Merci pour ces premiers exemples, par contre Corto pourquoi est ce que deux points distincts sont à une distance $\sqrt2$ l'un de l'autre ?
  • C'est bon j'ai compris suffisait juste de prendre un crayon :-D
  • Parce que si $u$ et $v$ sont deux vecteurs orthogonaux de norme $1$, on a $\|u-v\|^2=2$.
  • Petite remarque : l'exemple de math coss utilise un espace où l'on a mis la topologie discrète sur une moitié de l'espace et une autre topologie sur la seconde moitié. Les exemples que j'ai donné reposent sur un autre principe, il s'agit de prendre un espace "très gros" (non séparable).
  • Oui, ton exemple est beaucoup plus intéressant !
  • Plus intéressant je ne sais pas, plus compliqué c'est sûr ;-)
  • @senpai : tu devrais acquérir le célèbre Counterexamples in topology de Steen et Seebach chez Dover, il ne coûte qu'une bouchée de pain.
  • Merci pour la référence Poirot j'irai voir ça
  • De mon téléphone j'oublie trop de visiter cette rubrique.

    Tu veux un exemple de machin. Mais sache que (je réponds au 1er post) que TOUS les espaces métriques assez grands ont un sous espace discret qui edt grand. C'est un exemple du contraire que tu ne risques pas de trouver (peut être si tu renonces à AC) chez les métriques. Je pense que c'est mieux de te le laisser en exo?

    Indication: prends An maximal à contenir des pts deux à deux à distance au moins 1/n et réunis les puis prends l'adhérence.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour,

    Un site utile : la $\pi$-base. On peut entrer une propriété et demander des contre-exemples ou une preuve.

    Mais la question donnée en exemple ne peut pas être recherchée. Elle me fait penser à la chose suivante : les propriétés des anneaux (euclidien, noetherien, principal, etc.) ne sont en général pas stables par sous-anneau car elles sont en général vérifiées pour les corps mais pas par tout anneau principal. Ici la question est : est-ce que la propriété d'être muni de la topologie discrète (et d'être indénombrable) est stable par passage à un sur-espace. Les propriétés topologiques (qui sont locales et non triviales) ne sont pas stables par prise d'un sur-espace car on peut toujours prendre l'union d'un espace la vérifiant avec un ne la vérifiant pas et obtenir un espace ne la vérifiant pas...
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