Question sur une inégalité
Bonjour,
On dispose de deux matrices : $U\in M_{p,k}(R)$ et $V\in M_{p,l}(R)$ tels que $l<k\leq p$. On note $(u_{1},\ldots,u_{k})$ la famille des vecteurs colonnes de $U$ et $(v_{1},\ldots,v_{l})$ celle des vecteurs colonnes de $V$ et telles que : $^{t}U.U=I_{k}$ et $^{t}V.V=I_{l}$ On pose pour tout $l+1\leq i\leq k$ : $a_{i}=\sum_{m=1}^{l}{<u_{i},v_{m}>^{2}}$ avec $<,>$ désigne le produit scalaire canonique sur $R^{p}$ et pour tout $1\leq j\leq l$ on pose : $b_{j}=1-\sum_{m=1}^{l}{<u_{j},v_{m}>^{2}}$.
On veut montrer que $(a_{i})_{l+1\leq i\leq k}$ et $(b_{j})_{1\leq i\leq l}$ sont des familles de réels positifs et que $\sum_{i=l+1}^{k}{a_{i}}\leq \sum_{j=1}^{l}{b_{j}}$.
On a $^{t}U.U=I_{k}$ et $^{t}V.V=I_{l}$ et $^{t}U.U=(<u_{i},u_{j}>)_{1\leq i,j\leq k }$ et $^{t}V.V=(<v_{i},v_{j}>)_{1\leq i,j\leq l }$ ce qui donne que les familles et $(u_{1},\ldots,u_{k})$ et $(v_{1},\ldots,v_{l})$ sont des familles orthonormées. Donc on complète l'une en base orthonormée afin de pouvoir récupérer les produits scalaires les $u$ et les $v$ ensemble. Complétons celle-ci : $(v_{1},\ldots,v_{l})$ en base orthonormée de $R^{p}$ : $(v_{1},\ldots,v_{l},w_{l+1},\ldots,w_{p})$. On obtient bien pour tout $1\leq j\leq l$ : $b_{j}=\sum_{m=l+1}^{p}{<u_{j},w_{m}>^{2}}\geq 0$
Mais après pour l'inégalité sur les sommes je trouve que la différence des deux sommes est : $\sum_{r=1}^{k}{\sum_{m=l+1}^{p}{<u_{r},w_{m}>}}+l-k$ et je ne vois pas comment simplifier cette double somme pour obtenir une inégalité qui impliquerait la positivité.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de résoudre cette question.
Merci d'avance.
On dispose de deux matrices : $U\in M_{p,k}(R)$ et $V\in M_{p,l}(R)$ tels que $l<k\leq p$. On note $(u_{1},\ldots,u_{k})$ la famille des vecteurs colonnes de $U$ et $(v_{1},\ldots,v_{l})$ celle des vecteurs colonnes de $V$ et telles que : $^{t}U.U=I_{k}$ et $^{t}V.V=I_{l}$ On pose pour tout $l+1\leq i\leq k$ : $a_{i}=\sum_{m=1}^{l}{<u_{i},v_{m}>^{2}}$ avec $<,>$ désigne le produit scalaire canonique sur $R^{p}$ et pour tout $1\leq j\leq l$ on pose : $b_{j}=1-\sum_{m=1}^{l}{<u_{j},v_{m}>^{2}}$.
On veut montrer que $(a_{i})_{l+1\leq i\leq k}$ et $(b_{j})_{1\leq i\leq l}$ sont des familles de réels positifs et que $\sum_{i=l+1}^{k}{a_{i}}\leq \sum_{j=1}^{l}{b_{j}}$.
On a $^{t}U.U=I_{k}$ et $^{t}V.V=I_{l}$ et $^{t}U.U=(<u_{i},u_{j}>)_{1\leq i,j\leq k }$ et $^{t}V.V=(<v_{i},v_{j}>)_{1\leq i,j\leq l }$ ce qui donne que les familles et $(u_{1},\ldots,u_{k})$ et $(v_{1},\ldots,v_{l})$ sont des familles orthonormées. Donc on complète l'une en base orthonormée afin de pouvoir récupérer les produits scalaires les $u$ et les $v$ ensemble. Complétons celle-ci : $(v_{1},\ldots,v_{l})$ en base orthonormée de $R^{p}$ : $(v_{1},\ldots,v_{l},w_{l+1},\ldots,w_{p})$. On obtient bien pour tout $1\leq j\leq l$ : $b_{j}=\sum_{m=l+1}^{p}{<u_{j},w_{m}>^{2}}\geq 0$
Mais après pour l'inégalité sur les sommes je trouve que la différence des deux sommes est : $\sum_{r=1}^{k}{\sum_{m=l+1}^{p}{<u_{r},w_{m}>}}+l-k$ et je ne vois pas comment simplifier cette double somme pour obtenir une inégalité qui impliquerait la positivité.
J'espère que vous pourrez m'aider afin de résoudre cette question.
Merci d'avance.
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supp
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