Réponse à @Gérard Zéro

Ramon Mercader

Dans le fil intitulé "Les floués de la recherche", @SchumiSutil avait posté la remarque suivante:

SchumiSutil a écrit:

J'en connais un autre (certes classé au delà de la 250ème place) qui est venu me poser la question suivante : pourquoi $\sum_{n > r} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{r}$ ?

J'ai alors répondu qu'il était possible de démontrer cette inégalité uniquement avec des notions de TS (intégrales, suites...) et que cette inégalité aurait pu être posée en devoir de TS voire au Bac si l'enseignement des maths en France n'était pas parti en lambeaux....

Aussitôt, @Gérard Zéro est sorti de sa tanière et a vociféré un florilège d'injures à mon égard (fake, menteur, influenceur...), montrant ainsi l'étendue de son ouverture d'esprit et la grosseur de ses sabots....

En d'autre temps, j'eusse demandé réparation de cet outrage mais je préfère, dans un esprit d'appaisement, apporter la preuve à ce monsieur qu'il est possible de démontrer l'inégalité de @SchumiSutil avec des notions relativement modestes de TS....
Certes, cela semblerait ardu pour un élève moyen de TS, mais il serait possible de rédiger un énoncé guidant les élèves pour qu'ils parviennent à démontrer ladite inégalité....Ce genre d'exercice contribuerait certainement à relever le niveau d'exigence en TS...et je suis d'ailleurs certain que de nombreux profs de maths n'hésitent pas à poser ce genre d'énoncé ambitieux à leurs élèves....

J'ai souhaité ouvrir un nouveau fil pour apporter ma réponse car je ne voulais pas polluer la discussion du fil "les floués de la recherche".
Vous m'excuserez cependant de ne vous donner qu'une réponse manuscrite car mon travail ne me donne pas le loisir de consacrer beaucoup de temps à cette vaine polémique dont je ne suis pas l'initiateur....

Fin de partie

Il y a peut-être plus simple comme démonstration.

Avec l'inégalité, $n>0$,

\begin{align}\frac{1}{(1+n)^2}\leq \frac{1}{n(n+1)}\end{align}

Sauf erreur, après un petit coup de série télescopique mâtinée d'un raisonnement par récurrence j'ai l'impression qu'on arrive à démontrer l'inégalité souhaitée.

Ramon Mercader

Quoiqu'il en soit, cela reste dans le cadre du programme de TS....n'en déplaise à certains.....

gerard0

Ah,

j'ai réussi à faire écrire des maths à Ramon !! Je suis content.

Pour la question du niveau TS, je remarque que tout au long de sa preuve, il marque "programme de TS", "vu en TS", ce que je n'ai jamais contesté. Puis à la fin, esquive complète sur la dernière ligne et sa notation. Pourtant c'est exactement ce que je signalais ici et même avant là.

Voilà, facile de baratiner, mais face au vrai problème, Ramon baisse pavillon.

Ce sera tout pour moi, et c'est seulement parce que je suis interpellé directement que je suis intervenu.

Ramon Mercader

La notation n'est ici qu'un détail !!!!!....ce qui est essentiel est que la démonstration de cette inégalité est du niveau TS...
Il suffirait d'écrire dans un énoncé de TS: Démontrer que la suite $(S_n)$ converge vers une limite inférieure ou égale à $\frac {1}{r}$

Je comprends que @SchumiSutil soit estomaqué qu'un agrégé de maths lui demande pourquoi cette inégalité est vraie. Un prof de maths enseignant en TS devrait être capale de rédiger cette démonstration sans problème et de façon autonome....(l'agrégé qui posait la question à @SchumiSutil devait en principe connaître la notation sous forme de série...)

Il est évidemment hors de question d'écrire dans un énoncé de TS: $\sum_{n > r} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{r}$....je n'ai jamais dit cela et mes messages ne concernaient que le niveau mathématique de la démonstration...

Pour mémoire, rappelons quelques échanges:

Ramon Mercader a écrit:

La démonstration est pourtant accessible à un élève de TS.....

Réponse de Gérard Zéro a écrit:

Encore une fake de RM, qui manifestement ne connaît pas le programme de TS

Défense de rire....@Gérard Zéro sort les avirons et attaque la falaise...Sa désespérante tentative d'invoquer un insignifiant détail de notation lui donne l'illusion de retomber sur ses pieds par une remarque hors sujet qui élude l'essentiel: cette démonstration est de niveau TS et je ne suis donc ni un menteur ni un manipulateur....

Math Coss

Gérard0 a écrit:

j'ai réussi à faire écrire des maths à Ramon !! Je suis content.

Chapeau bas !

Fin de partie

Ramon a bien fait de ne poster ce message qu'aujourd'hui. Hier, on aurait pu croire qu'il nous faisait une blague X:-(

Par ailleurs, je pense que ce n'est pas si facile de faire comprendre* à un élève lambda de terminale le sens à donner à:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$** mais pour $\displaystyle \sum_{n=r+1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$, on parle de la limite d'une suite "à paramètre" .

*: ne pas confondre les verbes comprendre et définir.
**: même si on cache pudiquement le $\infty$ sous le "tapis" en utilisant la notation $\sum_{k\geq 1}$.

biely

Ce que je trouve assez horripilant c'est de qualifier de "tricheurs" les établissements qui refusent de se soumettre à la décadence programmée...

Ramon Mercader

@Biély:

Mais voyons, tu n'as rien compris !!!! Pour certaines bonnes zâmes éprises de justice sociale, ce qui prime est l'égalité !!!!
Tous ignorants donc tous égaux !!!!

Fin de partie

Je ne vois pas l'intérêt de poser des questions qui ne vont pas être comprises.

La question pour avoir une chance d'être comprise par un élève terminale doit porter sur une somme finie.
(je pense qu'on peut transformer la question posée en une question plus accessible, c'est à dire qui ne nécessite pas de manipuler des limites de sommes)

Par ailleurs, la difficulté d'un exercice, si on laisse de côté la compréhension de la question posée, réside surtout dans le choix des questions (et en particulier leur nombre et les indications fournies).

marsup

Les établissements qui "refusent de se soumettre à la décadence" sont aussi (la chance !) ceux où sont scolarisés les enfants de la classe sociale (ou du moins, celle qui finance et vote pour ceux qui...) qui démolit l'école pour les enfants de tous les autres.

Après avoir reçu une vraie éducation dans les meilleurs collèges/lycées/classes prépa puis intégré HEC, -> master à Harvard, ces enfants se retrouvent secrétaire d'état aux affaires européennes à 33 ans.

En même temps, dans un pays de 65 millions, si les 95% reçoivent une éducation de pacotille, la méritocratie républicaine, ça devient plus facile pour les 5% restant.

Vous avez lu le livre de Juan Branco, où il traite le cas de Gabriel Attal, qui est, devenu à 29 ans le plus jeune membre de gouvernement de la cinquième, après avoir fait toute sa scolarité dans un périmètre de 2 km^2 du bon Paris ?

Donc "c'est de la triche" si on veut, mais en tous cas, c'est difficile de nier que ça fait un moment que l'élitisme scolaire ne se fait plus sur la base du simple mérite intellectuel.

Est-ce à dire qu'il faut démolir les derniers îlots qui restent (réservés à la bourgeoisie) ? Non, il faut donner les moyens aux professeurs d'enseigner, partout ailleurs ! (mais il y a quand même de la triche, ou du moins, un énorme traitement de faveur !)

Ramon Mercader

@FDP:

L'origine de cette discussion provenait d'une question posée à @SchumiSutil par un agrégé: "Pourquoi a-t-on l'inégalité $\sum_{n > r} \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{r}$ ?"

Cela signifie que cet agrégé n'avait aucune idée de ce qu'il fallait faire pour démontrer cette inégalité.....ce qui parait effrayant quand on sait qu'une preuve de cette inégalité n'utilise que des notions vues en TS !!!!

Cela tend à montrer qu'il existe des agrégés de maths qui ne dominent pas vraiment ce qu'ils enseignent...C'est cela qui est alarmant !!!!
Le rôle d'un agrégé de maths ne doit pas se limiter à enseigner scratch scratch scratch ou Dist Norm Ncd....

Fin de partie

C'est clair que chacun ne voit pas la triche au même endroit.
L'école est une lessiveuse: elle permet de convertir le capital culturel hérité d'un "bon" milieu socio-professionnel en mérite. C'est la triche originelle.

Ramon:

Tu n'as pas pensé non plus à l'inégalité $\dfrac{1}{(n+1)^2}\leq \dfrac{1}{n(n+1)}$ pour $n>0$ qui sert à démontrer (sans passer par la comparaison série-intégrale) la convergence de la série des inverses des carrés des entier naturels non nuls même si tu as proposé une méthode de démonstration.
Sur une seule question (et sa réponse ou non-réponse) c'est tout de même un peu hâtif de se faire une opinion, non?

Par ailleurs, cela ne m'étonne pas tant que ça. J'ai l'impression qu'un certain nombre de gens en mathématiques utilisent souvent des marteaux-piqueurs pour ouvrir des noix (c'est une image hein). Ils ne savent plus utiliser des trucs élémentaires pour faire le travail. Quand ils se retrouvent face à un problème élémentaire et pour lequel ils n'ont pas de marteau-piqueur disponible ils ne savent pas quoi faire.

PS:
Inégalité fausse corrigée . Merci à Noix de totos pour sa vigilance.

Ramon Mercader

L'avantage de la comparaison série-intégrale réside dans le fait que cette méthode est réutilisable pour démontrer la convergence d'autres séries que celle des inverses des carrés (ainsi que la divergence de certaines séries....)

Dès que j'ai vu la remarque de @SchumiSutil, cette méthode m'est aussitôt venue à l'esprit et il m'a fallu 5 minutes pour rédiger la démonstration hier soir (je n'ai pas voulu la livrer aussitôt à @Gérard Zéro car je n'aime pas beaucoup les injonctions de la police de la pensée....)

D'autres part, les outils mis en oeuvre (propriétés des intégrales et convergence d'une suite croissante et majorée) me semblaient parfaitement adaptés au niveau TS...ce qui montrait au passage qu'avec un peu d'ambition, il serait possible de (re)faire des maths de haut niveau au lycée...


D'ailleurs, je viens de retrouver à l'instant un exercice du Bac C 1985 dans lequel on utilise cette méthode de comparaison série-intégrale....(attention aux coquilles dans l'énoncé).
Vous remarquerez que cet exercice est parfaitement faisable avec le programme de TS en 2019...(attendons le jour du Bac, sur un malentendu ça peut marcher...)
Mais méfiez-vous de moi, peut-être suis-je en train de vous manipuler à votre insu.....

biely

@fin de partie
Gaston Lagaffe ne serait pas d'accord avec vous...même avec un marteau piqueur, une noix peut résister...:-D
(Je plaisante, je suis plutôt d'accord avec vous sur ce point)

noix de totos

@Fin de Partie : une coquille dans ton égalité $\dfrac{1}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n(n+1)}$. Je suppose que tu voulais écrire $\dfrac{1}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n(n-1)}$ ou bien $\dfrac{1}{(n+1)^2} \leqslant \dfrac{1}{n(n+1)}$.

Fin de partie

Noix de Totos:

Oui, merci pour la coquille. J'aurais du reposter la version de mon message plus haut qui, elle, doit être correcte.

Ramon Mercader

FDP a écrit:

Oui, merci pour la coquille.

De noix ????

marsup a écrit:

Est-ce à dire qu'il faut démolir les derniers îlots qui restent (réservés à la bourgeoisie) ?

Pour les pauvres, les îlots sont "bonifiés"......

SchumiSutil

Quand j'étais en terminale, j'avais eu un exercice en classe sur la comparaison série intégrale de la série harmonique; L'exercice se terminait par : il existe un réel, noté $\gamma$ tel que $\lim_{n \to \infty} 1+ \cdots + \frac{1}{n} - \log(n) = \gamma$.


Quand je donnais des cours en L2 maths à la fac, je lisais
$$
1+ \cdots + \frac{1}{n} = \frac{1 + \ldots 1}{1 + \ldots + n} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}.
$$

xax

Ramon a raison je me souviens que ce type d'exo était assez courant en TC (dans les années 80) mais c'était quand même plutôt le haut du panier. Donc actuellement ça doit être très très compliqué à poser ce genre, à part dans les lycées privilégiés qui sont évoqués. Vu le délabrement des programmes, c'est fort possible que gerard0 ait raison sur le fait que ça ne soit pas théoriquement possible de faire ça en TS.
Ça ne sert donc à rien de se mettre sur la tronche à cause d'une situation qui n'est pas de notre fait et que tout le monde déplore (du moins ici ...).

@marsup : pour Attal ça n'a rien à voir, sa promotion est du à un ultra opportunisme connu et, d'après certains, à des éléments notoires de sa vie privée dont ce forum n'est pas le lieu pour les préciser.

Par contre ton analyse est hélas juste, elle rejoint le constat brutal de Pierre Colmez fait il y a quelques années ( http://images.math.cnrs.fr/R-eduire-les-in-egalit-es.html ) : "On arrête d’enseigner quoi que ce soit, et on donne le bac à tout le monde : le résultat est que les enfants dont les parents pourront prendre la relève verront leurs performances inchangées à l’enquête PISA, et que le reste de la population verra ses résultats s’écrouler : une éducation d’un élitisme absolu au nom de l’égalité complète ! "

Fin de partie

SchumiSutil:

On peut encore sans doute montrer à des élèves de terminale S (2019) que cette suite converge.

Pour rappel, le théorème suivant:

1)Une suite croissante majorée est convergente.
( 2)Une suite décroissante minorée converge.)

est toujours enseigné en terminale S.
(p4: http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_8_men/98/4/mathematiques_S_195984.pdf )

PS:
Il vaut mieux considérer la suite:
$\displaystyle u_n=1+\dfrac{1}{2}+...\dfrac{1}{n+1}-\ln(1+n)$

Comme dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1792736,1793236#msg-1793236

J'imagine qu'on peut exprimer cette suite sous forme d'une intégrale puisque pour $n\geq 0,\displaystyle \ln(1+n)=\int_0^n\frac{1}{1+x}\,dx$
Il ne "reste" plus qu'à espérer que c'est plus facile à montrer sous cette nouvelle forme que cette suite est décroissante et minorée.
(j'ai du rencontrer plein de fois cette suite mais j'ai oublié ses propriétés: en calculant plusieurs termes successifs il me semble constater qu'elle est bien décroissante mais bien sûr c'est une preuve de rien, seulement une indication de ce qui pourrait être fait pour démontrer qu'elle est convergente)

Fin de partie

Ce que je proposais dans mon message précédent n'est pas probant.
J'ai fouillé dans mes archives, voici un exercice qui était proposé en Terminale C en 1983:
Le livre duquel j'ai extrait cet exercice comportait des étoiles pour indiquer la difficulté d'un exercice.
Celui-ci est marqué d'une étoile (de 1983 !):

a) Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies par:
\begin{align}f(x)&=log(1+x)-log(x)-\dfrac{1}{1+x}\\
g(x)&=log(1+x)-log(x)-\dfrac{1}{x}
\end{align}
b) En déduire que, quel que soit $p$ un entier naturel non nul, $\dfrac{1}{p+1}<\ln(1+p)-\ln p<\dfrac{1}{p}$
c) Soit la suite définie pour $n\geq 1$ par $\displaystyle S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$
Montrer que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n=+\infty$ en utilisant b.
A l'aide d'une calculatrice programmable, calculer $S_n$ pour $n=10,100,100,...$. Que constatez-vous?
d) Soit la suite définie pour $p\geq 1$ par $T_p=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{p}-\ln p$
Montrer que pour $p\geq 1,T_p\geq 0$. Montrer que cette suite est décroissante. Conclure.

La dernière question est un peu sèche et directe.

J'ai trouvé cet exercice dans Mathématiques Terminale C et E, Analyse et statistiques, IREM-Strasbourg, éditions Istra,1983. Il s'agit de l'exercice numéro $80$ page $125$.

gebrane

@FDP
Pourquoi la dernière question est sèche?

Fin de partie

Gebrane:

As-tu essayé de faire cette question?

gebrane

Oui;
$T_{p+1}-T_p=\frac 1{p+1}-\ln(p+1)+\ln(p)<0$ d’après b)

Ramon Mercader

FDP a écrit:

La dernière question est un peu sèche et directe.

C'est tout de même autre chose qu'un problemzouvert minable de 2019...on devrait poser cet exercice au Bac 2019: carnage garanti car on est à des années lumière du CDAL....
Il suffit de se servir des questions a) et b) (et ce n'est pas une "fake news" comme diraient @Gérard Zéro et Benjamin Griveaux.....)

FDP a écrit:

Le livre duquel j'ai extrait cet exercice comportait des étoiles pour indiquer la difficulté d'un exercice.
Celui-ci est marqué d'une étoile (de 1983 !)

Donc trop difficile pour 80% des étudiants de L2 de 2019....

marsup

Bizarrement, $T_p \ge 0$ est plus difficile que $(T_p)$ décroissante, car il y a une sommation télescopique des inégalités.

Donc je me demande pourquoi les questions sont dans cet ordre-là.

De toutes façons, moi j'aime mieux dire : soit $U_p = T_{p} - \frac{1}{p}
= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{p-1} - \ln(p)$.

-> vérifier que $U,T$ sont adjacentes.

Fin de partie

Ramon Mercader:

Il suffit de rajouter des questions et de recentrer sur le problème principal pour ne pas que l'exercice comporte 50 questions pour rendre cet exercice beaucoup plus accessible à un élève de terminale S (2019).

Je le rappelle: les auteurs de ce manuel considéraient que cet exercice était plus difficile que la plupart des autres exercices de ce manuel (il n'y a pas des étoiles sur tous les autres exercices).
Quand vous avez vu l'inégalité avec $\ln(1+p)-\ln p$ il y a un signal qui s'est déclenché dans votre tête qui s'est mis à crépiter avec une voix qui hurlait: alerte série télescopique en vue !! Mais je ne crois pas que c'était un truc familier de tous les élèves en 1983.

Je pense qu'aujourd'hui si on se risquait à essayer de donner un tel exercice, on en changerait l'emballage.
Il y aurait des formules à démontrer par récurrence pour chuinter la série télescopique probablement.

gebrane

Amusement:
Montrer la positivité de $T_p $ sans passer par un télescopage ou une récurrence .

Fin de partie

Transformer le logarithme en intégrale qu'on découpe en une somme de plusieurs intervalles intégrales (avec la même intégrande) dont les bornes sont des entiers consécutifs et apparier ces intégrales avec les autres termes de la somme, en 1/k et montrer que toutes ces différences sont positives. C'est comme ça que je commencerais, j'ignore si cela se finit bien.

marsup

Oui c'est ça : $\frac{1}{\lceil t \rceil} \le \frac{1}{t} \le \frac{1}{\lfloor t \rfloor}$

On intègre $\to p\in\N^*$, et : $\displaystyle
\int_1^p \frac{dt}{\lceil t \rceil}
\le
\int_1^p \frac{dt}{t}
\le
\int_1^p \frac{dt}{\lfloor t \rfloor}
$
soit : $
\frac{1}{2} + \dots \frac{1}{p} + \frac{1}{p+1}
\le \ln(p)
\le \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots \frac{1}{p}$,
ainsi que variantes obtenues en changeant les bornes d'intégration...

jean-éric

Voici la version du Terracher spécialité TS à partir de 1995 :

Soit $(u_n)$ la suite de terme général $u_n=1+\frac12+\frac13+\cdots + \frac1n$.

1. \'A l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour $k>1$ :
\begin{equation} \tag{1}
\frac{1}{k+1} \leq \ln (k+1)-\ln k\leq \frac{1}{k}
\end{equation}
En déduire que pour tout $n\geq 1$ :
\begin{equation}\tag{2}
\ln n \leq u_n\leq 1+\ln n
\end{equation}
2. \'Etudier le comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
3. \'A l'aide des inégalités (1) et (2), étudier le comportement de la suite de général $v_n=u_n-\ln n$.



.............

Souvenirs, j'aime bien cet exercice.

Jean-éric.

Fin de partie

Le rajout dans l'exercice de la deuxième inégalité permet sans doute de contourner la difficulté liée à la série télescopique.
Mais il n'y a plus l'indication de comment on montre que la suite $(v_n)$ converge comme c'était le cas dans la version de 1983.

PS:
D'une certaine manière le théorème: une suite croissante majorée converge est un résultat des plus curieux qui soit enseigné en terminale.
On se retrouve à savoir que la limite d'une suite existe sans savoir ce qu'elle est contrairement à un autre résultat dit théorème des gendarmes.

gebrane

Bien vue FDP

$T_p+\ln(p)= 1 + \frac{1}{2} + \dots \frac{1}{p}\geq \ln(p+1)$ et on tire $T_p\geq \ln(p+1)-\ln(p)>0$
L’inégalité $1 + \frac{1}{2} + \dots \frac{1}{p}\geq \ln(p+1)$ se démontre par le fait que $\int_k^{k+1}\frac 1x\leq \frac 1k$ et on somme de 1 jusqu’à p

Fin de partie

Gebrane:

Cela s'inscrit j'imagine dans la méthode dont parlait Ramon au début: comparaison intégrale série.

Fin de partie

A propos de séries télescopiques:

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Polynesie_12_juin_2015.pdf

La dernière question de la partie C) est un peu aride. Dans la question précédente on essaie de faire deviner au candidat la formule à démontrer dans la question suivante. Mais la formule à démontrer n'est pas explicitée.

(Je suis censé corriger un bac blanc Terminale S dans lequel a été repris cet exercice parmi d'autres)

marsup

Merci pour la pépite @Fin de Partie.

Et surtout, n'oubliez pas de paramétrer vos toboggans pour pandas par une fonction de la forme $y = (ax+b) \cdot e^{-x}$, avec $a,b$ entiers naturels !
--
Et donc une vidéo à 20 millions de vues : Cute pandas playing on the slide

gebrane

Un examen de 6 pages!!
C'est affreux

gebrane

SOS exercice3 2.b

marsup

Formule de Bayes.

Fin de partie

Marsup:
Dans un des autres exercices qui composent ce "bac blanc" de terminale S que je dois corriger il y a une "étude" de la fonction $f(x)=x\text{e}^{1-x^2}$

L'exercice étudie la position relative de la courbe représentative de cette fonction avec celle de la fonction $g(x)=\text{e}^{1-x}$
(je ne parviens pas à retrouver l'origine de cet exercice par recherche par mots-clefs)

Fin de partie

Je partage avec vous ce truc qui m'a fait bondir:

On a deux suites de terme général respectif $u_n,v_n$ et $u_n=\text{e}^{v_n}$ on demande d'exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$.

Réponse d'un élève:
"ainsi nous pouvoir multiplier de chaque côté par $\ln$ car strictement positif".

gebrane

On peut aussi critiquer le texte:

L'auteur ne précise pas la nature de ces suites!
On a à faire à des suites réelles ou complexes

Fin de partie

Le texte mentionne qu'on admet qu'on peut calculer tous les termes de la suite.
Un étudiant de terminale ne calcule pas des logarithmes de nombres complexes.

gebrane

Le texte mentionne qu'on admet qu'on peut calculer tous les termes de la suite
Soit $v_n$ une suite complexe, alors on peut calculer tous les termes de la suite $u_n=e^{v_n}$

Un étudiant de terminale ne calcule pas des logarithmes de nombres complexes.
Les complexes sont au programme, un étudiant averti en face de $u_n=e^{v_n}$ trouvera une difficulté pour répondre à la question

Enfin la précision d'un texte mathématiques, ne dépend pas du niveau de son lecteur ou lectrice

Fin de partie

Gebrane:

Il n'y a en effet aucun problème à définir cette suite proprement c'est moi qui invente des consignes qui n'y sont pas*:

L'exercice est dans ce document:
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Polynesie_12_juin_2015.pdf


*: En fait, cette consigne est donnée pour une autre suite de l'exercice.

Fin de partie

Une petite pensée pour Christophe:

Lu sur un devoir sur table:

$ln(x)+x(-x+1)=0$
$ln(x)=0$ ou $(-x+1)=0$

gerard0

Stella Baruk appelle cela un automathisme.

Cordialement.

Fin de partie

Moi j'appelle cela de l'opportunisme. B-)-

J'ai lu Stella quand j'étais plus jeune (l'âge du capitaine etc)

SchumiSutil

"Mais m'sieur le résultat c'est juste à la fin. "

Dom

C'est surtout juste !

Oralement, on demanderait une preuve de l'équivalence mais ce qui est écrit (enfin il manque, comme dans toutes les rédactions de ce type - ce qui est toujours pardonné -, un lien entre les deux égalités) est vrai* !

*si on souhaite passer l'éponge sur cette histoire d'équivalence