Élément inversible
Bonsoir
Votre aide s'il vous plaît, je suis débutant et je cherche à comprendre la preuve point par point. Merci d'avance.
Proposition. Soient $A$ un anneau commutatif unitaire, $a \in A$ et $e$ un idempotent de $A$.
On pose : $V(a) = \{M \in \max(A) \mid a \in A\}$ et $U(a)$ son complémentaire dans $A$.
1) $\forall a \in A$ il existe un idempotent $e$ tel que : $V(a) \subseteq U(e)$ et $V(a - 1) \subseteq V(e)$
2) $\forall a \in A$ il existe un idempotent $e$ tel que : $a + e$ et $a - e$ sont inversibles
On a 1) implique 2).
Preuve. On prend un idempotent $e$ tel que : $V(a^2) \subseteq U(e)$ et $V(a^2 - 1) \subseteq V(e)$.
Soit $M \in \max(A)$.
Si $a\in M$ alors $a^2 \in M$ et par conséquent $e \notin M$, il s'ensuit que $a + e$ et $a - e$ n'appartiennent pas à $M$.
Si $a \notin M$ et $e$ $\notin M$, alors ni $a + 1 $ ni $a - 1$ n'appartiennent à $M$. Ainsi, $a + e + M = a+1 +M\neq M$ et $a - e + M = a-1 +M\neq M$, d'où $a + e$ et $a - e$ sont inversibles.
Mes questions.
1°) On veut montrer que $a + e$ et $a - e$ sont inversibles donc il suffit de montrer qu'ils n'appartiennent à aucun idéal maximal de $A $.
2°) Si $a \in M$ alors $a^2 \in M$ ça c'est par définition d'un idéal.
3°) Si $a^2 \in M$ alors $e \notin M$ ceci par l’hypothèse $V(a^2) \subseteq U(e)$.
4°) Je ne vois pas pourquoi $a + e$ et $a - e$ n'appartiennent pas à $M$ ? où est-ce qu'on a utilisé le fait que $M$ est maximal, $e$ est idempotent et pourquoi on a introduit le $a^2$ ? J'ai essayé de tirer une réponse en écrivant : $a^2 - e = a^2 - e^2 = (a - e) (a + e) $ mais en vain. 8-)
5°) Je ne comprends pas cette égalité : $a + e + M = a+1 +M\neq M$ et $a - e + M = a-1 +M\neq M.$
6°) Est-ce que en général on a : si $x \notin I$ alors $x + I\neq I$ pour un idéal $I$ quelconque.
Votre aide s'il vous plaît, je suis débutant et je cherche à comprendre la preuve point par point. Merci d'avance.
Proposition. Soient $A$ un anneau commutatif unitaire, $a \in A$ et $e$ un idempotent de $A$.
On pose : $V(a) = \{M \in \max(A) \mid a \in A\}$ et $U(a)$ son complémentaire dans $A$.
1) $\forall a \in A$ il existe un idempotent $e$ tel que : $V(a) \subseteq U(e)$ et $V(a - 1) \subseteq V(e)$
2) $\forall a \in A$ il existe un idempotent $e$ tel que : $a + e$ et $a - e$ sont inversibles
On a 1) implique 2).
Preuve. On prend un idempotent $e$ tel que : $V(a^2) \subseteq U(e)$ et $V(a^2 - 1) \subseteq V(e)$.
Soit $M \in \max(A)$.
Si $a\in M$ alors $a^2 \in M$ et par conséquent $e \notin M$, il s'ensuit que $a + e$ et $a - e$ n'appartiennent pas à $M$.
Si $a \notin M$ et $e$ $\notin M$, alors ni $a + 1 $ ni $a - 1$ n'appartiennent à $M$. Ainsi, $a + e + M = a+1 +M\neq M$ et $a - e + M = a-1 +M\neq M$, d'où $a + e$ et $a - e$ sont inversibles.
Mes questions.
1°) On veut montrer que $a + e$ et $a - e$ sont inversibles donc il suffit de montrer qu'ils n'appartiennent à aucun idéal maximal de $A $.
2°) Si $a \in M$ alors $a^2 \in M$ ça c'est par définition d'un idéal.
3°) Si $a^2 \in M$ alors $e \notin M$ ceci par l’hypothèse $V(a^2) \subseteq U(e)$.
4°) Je ne vois pas pourquoi $a + e$ et $a - e$ n'appartiennent pas à $M$ ? où est-ce qu'on a utilisé le fait que $M$ est maximal, $e$ est idempotent et pourquoi on a introduit le $a^2$ ? J'ai essayé de tirer une réponse en écrivant : $a^2 - e = a^2 - e^2 = (a - e) (a + e) $ mais en vain. 8-)
5°) Je ne comprends pas cette égalité : $a + e + M = a+1 +M\neq M$ et $a - e + M = a-1 +M\neq M.$
6°) Est-ce que en général on a : si $x \notin I$ alors $x + I\neq I$ pour un idéal $I$ quelconque.
Réponses
-
Il manque des accoladesà ton $V(a)$, et j'imagine qu'il faut lire "$a \in M$" et pas "$a \in A$".
Pour ta question 4), $M$ est en particulier un sous-groupe (additif) de $A$. Donc si $a \in M$ et $e \not \in M$ alors $a+e \not \in M$, sinon $(a + e) - a \in M$. De même pour $a-e$.
Ce qu'il est important de retenir est que si $e$ est idempotent dans $A$, alors pour tout idéal maximal $M$ de $A$, ou bien $e \in M$, ou bien $e \in 1+M$. La démo est très simple : dans le corps $A/M$, on a $\bar{e}^2=\bar{e}$, donc $\bar{e}= \bar{0}$ ou $\bar{e}=\bar{1}$.
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