Montrer qu'un ensemble est ouvert

Pik602

Bonjour je veux montrer que l'ensemble B est ouvert.
Donc je cherche à montrer l'existence de epsilon telle que pour toute boule ouverte centre en un point de B cette boule soit contenu dans B.
Mais je bloque et j'arrive pas à aboutir.
Une piste pour démarrer ?
Cordialement

Phare

Bonjour,
Commence par dessiner B, c'est quasiment tout ce qu'il y'a a faire.

marsup

Tu ne préférerais pas utiliser le fait qu'une intersection finie d'ouverts est ouverte ?

Ça semble moins fatigant que de trouver le rayon de ton disque...

Pik602

Je trouve 4 cadrans pour B et je vois bien que c'est ouvert mais j'aimerais le montrer juste avec la définition.
J'ai essayer d'écrire B comme un produit cartésien et une union d'ouverts mais je n'ai pas réussi.

math2

Tu prends $(x_0,y_0)$ dans ton ensemble. Il s'agit de trouver $r$ que si $(x,y)$ appartient à la boule centrée en ce point et de rayon $r$, les inégalités soient encore satisfaites. Choisissons la norme infinie.

Si $z$ est l'une des deux coordonnées, lorsque $(x,y)$ est dans une telle boule, on a $|z_0|-r \leq |z| \leq |z_0|+r$

Cela permet d'avoir des inégalités du type $|x| \geq | x_0|-r$, $|y|-|x| \geq |y_0|-|x_0|-2r$, $|y| \leq |y_0|+r$, et donc on voit les $r$ qui vont assurer le résultat.

Ca se fait facilement à l'aide d'images réciproques si tu as déjà vu ce critère.