Valeur d'une intégrale

Dans un autre fil qui n'avait pas grand chose à voir était apparue la question suivante :
Déterminer la valeur de $\int_{0}^{2\pi}\sin(t)^{100} \mathrm d t$ avec une marge d'erreur de moins de 10%.

Sans utiliser d'ordinateur ou de calculatrice comment vous y prendriez vous ? (et peu importe si cela prend plus de 5 minutes)

Autres question dans la même veine : Donner un équivalent de $\int_{0}^{2\pi}\sin(t)^{2n} \mathrm d t$ lorsque $n \to \infty$.

Réponses

  • Cherche donc du côté des "intégrales de Wallis"...
    Il faut une toute petite étude de symétrie de la fonction à intégrer pour s'y ramener, et ensuite, on a les réponses à tes questions.
  • Quand l'exposant dans la formule de Wallis est pair, on peut aussi écrire la formule d'Euler $\sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ et développer la puissance par la formule du binôme de Newton.

    Tous les termes non-constants donnent une intégrale nulle sur une période de $2\pi$, et donc il reste juste le terme constant central avec un $\binom{100}{50}$ et une puissance de 2 au dénominateur.
  • Je regarderai ça. En fait de façon plus générale on peut se donner une fonction continue $f : [0;1]\to [0;1] $ et regarder comment se comporte $\int_0^1 f(x)^n dx $ lorsque $n$ tend vers l'infini. Si $f$ est lisse et qu'elle a un profil de montagne (sa dérivée ne s'annule qu'une fois, en son maximum qu'on peut supposer atteint en 1/2) j'ai l'intuition que le $k$-ième terme du developpement asymptotique sera donné par une fonction de $f^{(k)}(1/2)$ ou quelque chose du genre.
  • $$=\frac{2\sqrt{\pi}}{50!}\Gamma(50+\frac{1}{2}).$$
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