Mesure d'un sous-espace vectoriel

Bonjour,

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\bf{R}^n$ de dimension $0<k<n$. Comment montrer que la mesure de Lebesgue d'ordre $n$ de $E$ est nulle ?

Cordialement,

Réponses

  • On peut se ramener au cas où $E$ est un hyperplan $H$. Ensuite, il existe une transformation linéaire inversible $A$ qui envoie $H$ sur $\{0\}\times\R^{n-1}$; or cet ensemble est de mesure nulle par définition de la mesure de Lebesgue d'ordre $n$. On a alors $0=\lambda^n( \{0\}\times\R^{n-1})=| \det A|\lambda^n(H)$.
  • Sinon on peut écrire $ E=\{(x_1,x_2,\ldots,x_p,0,\ldots,0)\mid x_i \in \R\}$.
  • On peut aussi le montrer "à la main". Par exemple pour montrer qu'une droite est de mesure nulle dans $\mathbb R^2$, on la recouvre par des carrés dont la somme des aires est arbitrairement petite, en prenant des carrés de plus en plus aplatis. Cette idée se généralise sans mal dans $\mathbb R^n$.
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