Corps parfait et polynômes

Bonjour, j'aimerais montrer le résultat suivant: Si $k$ est un corps parfait et $P\in k[X]$ est sans facteur carré alors $pgcd(P,P')$=1.

Etant donné que c'est dans le cadre d'un module de théorie des anneaux, je n'ai pas énormément de connaissances sur la théorie des corps plus générale, et la caractérisation d'un corps parfait que l'on nous donne est : $k$ est parfait si il est de caractéristique nulle ou de caractéristique $p>0$ et le morphisme de Frobenius est un isomorphisme.

Je suppose donc d'abord que $k$ est de caractéristique nulle, on dispose alors de la formule de Taylor et de la caractérisation de racines de $P$ en fonction des racines des polynômes dérivés. En particulier si P est sans facteur carré, ses racines ne sont pas racines de $P'$ et réciproquement les racines de $P'$ ne sont pas racines de P sinon P aurait un facteur carré. Mais je ne vois pas comment avancé ensuite, j'ai essayé deux trois trucs mais ça ne me mène à rien. Je pense qu'il ne manque pas grand chose mais je ne vois pas!

Si vous pouviez me filer un coup de pouce... merci (tu)

Réponses

  • Quelles pourraient être les racines de $P\land P'$ dans un surcorps où elles existent ?
  • Ah oui si $P\land P'$ a une racine $\alpha$ alors $(X-\alpha)|P$ et $(X-\alpha)|P'$ donc $P$ et $P'$ ont une racine en commun ce qui contredit ce que j'ai dit précédemment.

    Merci pour le déblocage Maxtimax :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.