Huit triangles pour six points

Bonjour à tous :-D
Le site Diophante propose ce mois-ci un problème que je trouve intéressant et qui me rappelle ce vieil exercice qui nous avait occupé un moment.

Trouver huit triangles $A_iB_jC_k$ du plan, semblables deux à deux (les indices $i,j,k$ prenant les valeurs 1 ou 2).

Je trouve le problème intéressant mais il restera caché sur Diophante jusqu'à la fin du mois et le site n'a pas de forum. Je relaye le problème, on peut échanger des idées ici, répondre directement sur Diophante ou attendre la fin du mois : chacun fait comme il le sent.
Domi
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Réponses

  • Mon cher Domi
    Peux-tu nous préciser si Diophante parlait de similitude directe ou seulement de similitude?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Je pense qu'il parle de similitude directe ou indirecte . De même , la similitude n'est pas forcément du genre Ai->Aj , Bi->Bj et Ci->Cj .

    C'est comme ça que je vois le problème .

    Amicalement

    Domi
  • Merci Domi pour ce problème très intéressant!
    Donc il peut y avoir des similitudes indirectes.
    C'est important de le savoir!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonsoir,

    En fait il suffit de similitudes directes...

    Cordialement
    C. Nadault
  • Solution triviale : A = A' B = B' C = C'
    Il y a donc au moins une solution.
  • Bonjour
    J'essaye au moins d'énumérer ces maudits huit triangles:
    $A_1B_1C_1$, $A_1B_1C_2$, $A_1B_2C_1$, $A_1B_2C_2$, $A_2B_1C_1$, $A_2B_1C_2$, $A_2B_2C_1$, $A_2B_2C_2$
    J'espère n'en avoir oublié aucun avec la table des $2$: $2\times 2\times 2=8$
    S'il n'y a que des similitudes directes, les deux premiers donnent $C_1=C_2$ et il n'y a que la solution de Soland.
    Donc ou il y a des similitudes indirectes ou bien dans ces similitudes directes il y a des sommets $A$ qui sont en correspondance avec des sommets $B$ ou $C$.
    En fait, il nous faudrait l'énoncé exact de la revue Diophante pour commencer à s'investir dans ce joli problème!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • @Pappus

    Tu as l'énoncé complet du problème dans le premier message ( il suffit de cliquer sur problème ) .

    Et en effet les points $A$ peuvent être envoyés sur des $B$ ou des $C$ par les similitudes : c'est toute la beauté de l'exercice . Rien n'interdit à priori des similitudes toutes directes .

    Amicalement

    Domi
  • Bonsoir
    Je découvre la figure de Catherine.
    Pour le moment, je ne comprends pas les valeurs des angles affichées mais ce qui me fascine, c'est la présence des parallélogrammes!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonsoir
    Je déraille peut-être complètement car c'est la fin de la journée et je ne suis plus très lucide mais je suis tombé sur le polynôme:
    $$X^3+X-1$$
    et j'ai eu besoin de calculer ses racines.
    J'espère que cela expliquera les angles trouvés par Catherine mais je ne suis sûr de rien!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Disons simplement que j'ai Rescassolisé avec $a=0$ et $b=1$ et j'ai essayé de traduire en complexes la figure de Catherine!
    J'ai bien retrouvé les angles de Catherine avec son polynôme!
    Ouf et Reouf!85054
  • Bonsoir
    Voici ma propre figure réalisée sous Cabri.
    Après ma Rescassolisation, les racines complexes imaginaires conjuguées du polynôme $X^3+X-1$ donnent l'affixe de $C$.
    L'outil mesure d'un angle de Cabri donne bien les angles de Catherine
    Amicalement
    [small]p[/small]appus85056
  • Bonsoir à tous !
    Est-ce que ce triangle ABC, avec ces valeurs particulières des angles, est l'unique à permettre de réaliser une telle figure ? Si c'est le cas, il doit avoir bien d'autres propriétés très remarquables ...
    JLB

    pour info : les valeurs des angles de ce triangle sont très proches de 2pi/11 = 4pi/22 = 32,72727273°, 5pi/22 = 40,90909091° et 13pi/22 = 106,36363636° ...
  • Mon cher Jelobreuil
    Tout ce que je peux te dire, c’est que tu peux ranger ton compas rouillé et ta règle ébréchée pour construire le triangle $ABC$!
    Par contre, il pourrait très bien y avoir d’autres solutions!
    Attendons les révélations de Catherine!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour ,

    en plus des parallélogrammes , il y a un cercle qui aide à la construction à partir du 1° triangle .85062
  • N'en déplaise à Pappus, je persiste et je signe !
    JLB85064
  • Mon cher Jelobreuil
    Va, tu ne me déplais pas!
    Mais je ne suis pas Chimène et tu n'es pas le Cid!
    En quoi persistes-tu avec tes angles un peu fantaisistes?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Je rentre un peu tard et je découvre la configuration de Catherine , il est clair que ça marche . J'aimerais bien une explication claire pour les valeurs des angles car je suis hyper allergique à la rescassolisation . En fait je suis bien plus intéressé par la recherche d'autres solutions ou par la démonstration de l'unicité .

    Domi

    PS : je joins aussi ma petite illustration , le O c'est pour moi ( à chacun ses manies ) .
    PPS : bonne nuit à tous .85068
  • Mon cher Domi
    Malheureusement, je crois qu'on ne peut s'en passer!
    Se priver des nombres complexes en géométrie, c'est un peu se tirer une balle dans le pied!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour
    A défaut d'une construction à la règle et au compas du point $C$ à partir des données $A$ et $B$ manifestement impossible, on peut essayer de chercher une construction de ce point par intersection de coniques qui ravirait notre ami Poulbot qui en a une grande habitude!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour
    Le fait que l’affixe de $C$ soit un entier algébrique prouve bien que la solution de cet exercice ne peut être élémentaire!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Une autre vue de quelques particularités85078
  • Merci Catherine
    Finalement Jelobreuil n'était pas si loin que cela!
    Mais qui peut penser à un truc aussi tordu, à part toi?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • On n'a pas tout à fait les angles donnés par Catherine dans sa 1° figure . Mais l'objectif est atteint .85084
  • pappus a écrit:
    Mais qui peut penser à un truc aussi tordu, à part toi ? (Catherine)

    Qu'est-ce donc à sous-entendre ?

    Je n'ai pensé à rien : j'ai juste cherché une solution à l'exercice... Le problème original donné par le site Diophante est particulièrement étonnant, et l'énoncé complet amène à une solution dans les complexes, car il est suivi par une application numérique.
    La vraie difficulté est de mettre en place une configuration qui marche parmi tous les cas à explorer. Ensuite les calculs sont évidemment ceux qui mènent à une équation comme celle résolue par pappus.
    Il apparaît manifestement un rapport avec le polygone à 22 côtés (qui n'économise d'ailleurs pas un peu de calculs...), mais là j'avoue ne pas voir le lien éventuel avec la question initiale !

    Cordialement,
    C. N.
  • Bonsoir, j'ai envie de raconter un peu n'importe quoi, au sujet du nombre 22:
    c'est le nombre de régions que forment 6 droites.
    Ensuite pour avoir les bons angles peut être que ces droites supportent les côtés des 8 triangles. (c'est sûr en fait, mais ça ne fait rien avancer)
  • Bonsoir à tous,

    Je ne peux que constater qu'aux arrondis de Geogebra près, les valeurs des angles indiquées par fm_31 sont les mêmes que celles que j'avais trouvées ...
    Et qu'avec des angles dans les proportions 4/5/13, le triangle Y2X1Z2 de la figure de Catherine est bien identique à celui de ma figure ...

    Bien cordialement
    JLB
  • Ma chère Catherine
    Je voulais seulement dire combien j'étais admiratif devant ta virtuosité.
    J'étais loin d'imaginer une telle solution
    Mais comme Domi, je reste un peu frustré!
    Comment avoir l'idée de Catherine? C'est pratiquement impossible!
    A-t-on toutes les solutions? Il y en a peut-être d'autres n'ayant rien à voir avec sa construction!
    Bref c'est un problème très difficile.
    Il faudra donc attendre le prochain numéro de Diophante pour avoir la clef de ce petit mystère
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Fm_31 avait quand même bien flairé la chose , après il fallait trouver les points de concours et les parallèles qui faisaient que le polygone donnait bien la solution et ce n'était pas si simple (tu)

    Je ne vois pas en quoi le passage aux complexes est obligé , on est simplement amené à calculer des angles dans un polygone régulier .

    Il existe certainement une illustration en pavages qui rend la solution totalement visuelle mais je n'ai pas encore regardé .

    Le problème de l'unicité modulo les similitudes risque d'être compliqué .

    Merci à tous pour la participation , les esprits s'échauffent un peu mais c'est sans doute parce que le problème est intéressant :-D

    Domi
  • Domi, je pense comme toi, il doit y avoir en effet un pavage ad hoc ...
    Et je ne serais pas étonné qu'il y ait d'autres solutions, liées à d'autres polygones réguliers ...
    Peut-être aussi y a-t-il d'autres configurations du même genre, avec d'autres nombres de points et de triangles, par exemple 10 points pour 12 triangles ?
    Et en effet, ce problème est très intéressant !
    Bonne soirée, bien cordialement
    JLB
  • Mon cher Jelobreuil
    Tous les angles ont été donnés de façon arrondie mais en Géométrie comme ailleurs en Mathématiques, il nous faut des calculs exacts!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • @Pappus

    Le site Diophante ou La gazette mathématique propose des problèmes et livre en fin de mois les solutions fournies par les intervenants ( souvent de grande qualité ) mais il n'ouvre pas comme ici des discussions qui bonifient souvent l'exercice au fil des échanges .

    Amicalement

    Domi
  • Mon cher Pappus,
    J'en conviens volontiers : les calculs finals doivent être exacts ! Je dirai donc que les valeurs exactes des angles des triangles de la dernière figure de Catherine sont 4pi/22, 5pi/22 et 13pi/22 ...
    Bien amicalement
    JLB
  • Bonsoir à tous
    Par acquit de conscience, j'ai repris ma figure avec les notations de Catherine.
    C'est celle avec laquelle j'ai fait mes calculs qui m'ont conduit au polynôme $X^3+X-1$.
    J'ai tracé le cercle circonscrit au triangle $X_1Y_2Z_2$ puis le polygone régulier convexe à $22$ côtés en partant de $X_1$ puis j'ai observé ce que j'ai obtenu.
    Mais rien à faire!
    Les points $Y_2$, $R$, $W$, $V$, $U$ ne sont pas des sommets du polygone régulier comme sur la figure de Catherine!
    Comme ma vue est très déficiente, je me suis sans doute trompé en effectuant mon tracé mais il va falloir trancher d'une façon ou d'une autre!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus85092
  • Bonsoir
    Sur la colonne de gauche, les angles en degré avec dix décimales de mon triangle $ABC$ donnés par Cabri
    Sur la colonne de droite, les valeurs converties en degré des angles donnés par Jelobreuil, à savoir $\dfrac{13\pi}{22}$, $\dfrac{5\pi}{22}$, $\dfrac{2\pi}{11}$.
    Les valeurs sont effectivement très proches mais différentes!
    Il va donc falloir trancher!
    L'objectif est-il atteint?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Il se peut que je me sois trompé dans ma propre construction!85098
  • pappus a écrit:
    "Les valeurs sont effectivement très proches mais différentes! "

    Il y aurait donc au moins deux solutions ?
  • Bonsoir
    Voici comment j'ai fait ma figure
    Je me suis donné les points $A$ et $B$.
    J'ai construit un repère orthonormé tel que $A(0,0)$ et $B(1,0)$
    Puis j'ai construit le point $C$ avec l'abscisse et l'ordonnée donnés par Maxima.
    J'ai enfin mesuré en degré avec dix décimales les angles du triangle $ABC$ et je les ai comparés avec ceux de Jelobreuil
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Au début, je n'avais affiché que deux décimales et je trouvais les angles de Catherine.
    J'étais content!
    Maintenant avec huit décimales de plus, il va falloir trancher!85102
  • Mon cher Pappus,
    Tu dis que tu as tracé le 22-gone à partir de X1, et c'est là que ça coince ... car je ne compte que 21 côtés sur ta figure !
    Cela explique sans doute tous ces petits problèmes ...
    Bien amicalement
    JLB
  • Mon cher fm_31
    Pourquoi pas je l'espère mais je suis sceptique!
    L'un de nous deux a probablement tort et c'est peut être et même sans doute moi.
    On ne peut pas vraiment dire que j'ai fait une construction et Cabri n'a estimé que des valeurs approchées!
    Il faut aussi regarder la configuration de Catherine au microscope!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Mon cher Jelobreuil
    J'espère que c'est cela et pourtant j'ai compté et recompté!
    Mais suis-je capable de compter jusqu'à $22$?
    Effectivement je me suis trompé!
    Mais le problème de la différence est toujours là!
    Elle provient sans doute des erreurs d'arrondis de Cabri provoqués par ma "construction " approchée du point $C$.
    J'aurais dû rester avec mes deux décimales.
    En fait mon erreur provient du fait qu'il est très difficile de construire le polygone régulier à $22$ côtés avec Cabri.
    Ma vision n'est plus très bonne! Les valeurs défilent vite et mes mains tremblent!
    Je vais réessayer de faire la figure de Catherine mais cela va prendre un certain temps comme disait mon adjudant!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Pappus, les valeurs données par Maxima sont-elles vraiment exactes ? C'est la première fois que j'entends parler de ce logiciel (de calcul ?), mais j'imagine que tous les logiciels de calcul ne peuvent afficher que des valeurs arrondies à la n-ième décimale, non ?
    Pour moi, en tout cas, il est clair que la première figure de Catherine était un essai approché bien réussi, et que dans ses figures suivantes, elle est partie d'un 22-gone, peut-être suite à ma remarque ... Il faudrait le lui demander !
    Bien amicalement
    JLB
    PS nos messages se croisent beaucoup ces temps-ci !
    PPS je ne connais pas du tout Cabri, mais je peux t'affirmer qu'avec Geogebra, construire un polygone de 22 ou de 50 côtés est enfantin !
  • Bonsoir
    J'ai refait la belle figure de Catherine à partir de la mienne!
    Fantastique!
    Je suis si heureux qu'elle marche!
    En fait ni l'un ni l'autre ne nous étions trompés dans nos calculs.
    Il se trouvait seulement que je ne savais pas compter jusqu'à $22$.
    La honte quoi!
    J'aimerais bien avoir une construction de $C$ par intersection de coniques.
    J'en ai déjà trouvé une, la seconde fait encore la cachottière!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus85106
  • Mon cher Jelobreuil
    Maxima donne les racines de $X^3+X-1$ avec seize décimales.
    Je les ai rentrées dans Cabri mais je crois que celui-ci n'accepte que dix décimales.
    Ce sont les erreurs d'arrondis de Cabri qui sont responsables de ma bévue.
    Il reste à savoir comment celui qui a donné cet exercice l'a fabriqué.
    C'est cela le plus intéressant!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • L'idée de l'exercice est vraiment naturelle ( c'est ce qui a retenu mon attention ) . Dans un premier temps on pense trouver facilement une solution et puis on déchante assez vite .

    J'attends plutôt une solution évidente avec pavages ou une autre solution avec des similitudes indirectes ( ou pas).

    Domi
  • Un problème extraordinaire !
    Dans la solution via des similitudes directes il y a 28 centres de similitude.

    [size=large]Où sont-ils ?[/size]
  • Bonjour
    J'ai regardé l'article d'Arnaudiès-Délézoide sur les nombres $(2,3)$-constructibles et le polygone régulier à $11$ côtés n'est pas constructible par intersection de coniques.
    Dommage!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Les pavages du plan sont connus. Je doute qu'on puisse inclure la configuration du Diophante dans un de ces pavages!
  • Je ne pensais pas à un pavage au sens traditionnel mais plutôt à un découpage car la construction des points via le polygone régulier fait apparaître une figure dans laquelle tous les angles sont des multiples de $\frac{\pi}{22}$ . 22 ne semble pas particulièrement attractif à priori mais il offre quand même des associations intéressantes .

    A : 4-5-13 , B : 4-9-9 , C : 5-8-9 , D : 4-4-14 .

    A et B peuvent s'associer pour donner B ou C .

    A et C peuvent s'associer pour donner A ou C .

    D peut s'associer avec C ou le triangle rose pour donner B ou A .

    On a envie de croire qu'il y a une raison cachée qui explique cette mystérieuse construction .

    Domi85158
  • Mon cher Domi
    La figure de Catherine se suffit à elle même!
    Mais y-a-t-il d'autres solutions?
    C'est la question primordiale!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Nous sommes bien sûr d'accord Pappus .

    Ce qui est évident pour toi ne l'est pas forcément pour moi . Ce qui fait fonctionner l'affaire avec le 22-gone est vraiment subtil et ne laisse pas beaucoup de chance à une autre solution mais un miracle peut se reproduire deux fois .

    La figure de Catherine est un pentagone du type XYZXY avec un point Z à l'intérieur , il y a plein d'autres situations à envisager .

    Amicalement

    Domi
  • Bonsoir Domi,
    J'ai bien l'impression, en effet, que la configuration de Catherine est assez particulière : je n'arrive pas à trouver une configuration équivalente à partir d'un 18-gone ou d'un 26-gone, mais il est vrai que je ne dispose que de moyens théoriques rudimentaires ...
    Peut-être faut-il d'abord analyser intimement la figure dans le 22-gone, dans toute la subtilité (sur ce point, je suis bien d'accord avec toi !) de ses parallélogrammes et autres triangles isocèles, avant de songer à une éventuelle extension ... Ce que je trouve le plus intrigant, c'est la présence de l'épine, en rose sur ta dernière figure ... qu'est-ce qu'elle fait là ?
    Bien amicalement
    JLB
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