Axiome du choix

Bonjour,

Je me posais la question de savoir si vous connaissez des énoncés équivalents à l'axiome du choix ou même si cela existe, des énoncés qui impliquent strictement l'axiome du choix ? Le seul que je "connaisse" est le théorème de Tikhonov concernant un produit quelconque de compacts.

Merci !
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Réponses

  • Avant toute chose (il y a eu un post récemment là dessus) je me permets de preciser ta question en l'interprétant : j'imagine que tu sous-entends "équivalent à l'axiome du choix dans ZF"

    Dans ce cas il y a une tripotée d'énoncés qui lui sont équivalents, je t'en donne un (très) petit aperçu :

    - toute surjection $p$ a une section $s$ (càd telle que $p\circ s= id$) - celui là on pourrait dire que c'est l'énoncé de l'axiome du choix mais je le mets à tout hasard.

    - Le lemme de Zorn
    -Le théorème de Zermelo, alias principe du bon ordre
    -le théorème de Tychonoff comme tu le fais remarquer
    - le théorème de Krull qui dit que tout anneau a un idéal maximal
    - le principe de maximalité de hausdorff
    -le fait que tout espace vectoriel admette une base (on peut même fixer le corps $=\mathbb{F}_2$, mais je ne sais plus ce qu'il en est pour d'autres corps)

    Et il y en a encore plein d'autres. Là j'ai mis l'accent sur des énoncés "non enemblistes", i.e. des énoncés qui se rapportent d'une manière ou d'une autre à un domaine des maths autre que la théorie des ensembles, mais bien sûr si tu cherches des énoncés ensemblistes tu en trouveras bien plus.

    Quant à des énoncés qui sont strictement plus fort que l'axiome du choix tu as par exemple l'hypothèse du continu généralisée, ou L=V ou HOD=V; mais là pour le coup tu risques de tomber beaucoup plus sur des énoncés de type theorie des ensembles, parce que dans les autres domaines on se base sur ZFC et naturellement les énoncés qu'on obtient naturellement ont tendance à se résoudre là dedans; quitte à rajouter quelques axiomes, mais souvent les énoncés sont bien trop "bornés" (en hauteur ou en largeur) pour impliquer l'axiome du choix
  • @senpai : à la liste de Maxtimax on peut rajouter l'axiome suivant :
    quels que soient 2 ensembles A et B, il existe au moins une injection de l'un dans l'autre.

    Il est à peu près évident de vérifier que AC implique ce truc (utiliser Zorn, par exemple), mais il s'avère que la réciproque est également vraie (quoiqu'un peu moins triviale à prouver).

    J'aime bien cette caractérisation, car c'est une de celles qui me fait le plus croire à la véracité de AC (même si ma "croyance" n'a guère de sens mathématique).

    @Maxtimax : je me trompe peut-être, mais il me semble avoir lu quelque part que Tychonoff est "légèrement plus faible" que AC.
    Qu'en penses-tu ?

    Martial
  • P.S. Juste après avoir posté j'ai été pris d'un doute.
    C'est peut-être l'axiome de l'ultrafiltre (tout filtre sur un ensemble X peut être étendu en un ultrafiltre) qui est légèrement plus faible que AC...
  • Martial : bon choix effectivement !
    Alors pour Tychonoff ça dépend de si tu es anglophone ou francophone :-D en effet son énoncé c'est "Un produit d'espaces compacts est compacts"; mais en français compact c'est quasicompact + $T_2$, en anglais compact c'est juste la propriété de Borel Lebesgue. Sous AC, les deux énoncés sont vrais, mais avec uniquement ZF ils ne sont pas équivalents.
    L'énoncé français est effectivement plus faible qu'AC, il est équivalent au lemme de l'ultrafiltre (quand tu fais la preuve par les ultrafiltres, tu vois effectivement qu'à part l'existence d'ultrafiltres, tu n'as pas de choix à faire), dont il est connu qu'il est plus faible qu'AC.
    L'énoncé anglais, lui, est équivalent à AC : quand tu fais la preuve avec les ultrafiltres, comme tu n'as pas de séparation tu te rends compte qu'il faut choisir une limite dans les facteurs. D'ailleurs, prouver Tychonov $\implies$ AC n'est pas très compliqué avec la bonne inspiration, mais les espaces qui apparaissent ne sont pas $T_2$ (normal :-D )
  • Je confirme ce que dit max et sur un plan froidement objectif c'est AC => les trucs qui est difficile (entre guillemets), les réciproques sont presque toujours "courtes" (moyennant une idée d'une ligne). Je dis ca pour toi Martial: en nombre d'octets ou d'unité de ce genre AC => Zermelo est une métropole (même si les habitant que nous sommes en connaissent chaque rue).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • La proposition suivante résulte de l'utilisation de l'axiome de choix :
    Soit $\ f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ une application.
    $\ f $ est continue en $\ a \quad \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad \quad \forall (x_{n})_{n \geq 0} \subset \mathbb{R} $ : $\ x_{n} \longrightarrow a \quad \Longrightarrow \quad f(x_{n}) \longrightarrow f(a) $
  • Merci pour vos réponses c'est exactement le genre de résultats que je cherchais. Pour l'existence d'une section ensembliste je ne savais pas que c'était équivalent avec AC mais on l'a utilisé en théorie des anneaux pour montré la propriété universelle du quotient. Par contre Pablo ta proposition résulte simplement de la structure d'espace métrique de $R$ non ?
  • senpai : l'équivalence de la continuité en un point avec la continuité séquentielle en un point pour un espace métrique utilise l'axiome du choix dépendant, dénombrable si l'espace métrique en question est séparable.
    Il me semble avoir lu par contre que si on parle de continuité globale équivalente à continuité séquentielle globale, alors on n'a besoin que de ZF, mais la preuve est plus subtile
  • Etant sur un pc, je précise ce que j'ai dit:

    l'axiome de Martial entraine AC parce qu'il entraine l'existence d'un ordinal dans lequel s'injecte l'ensemble quelconque choisi par le démon.

    Tychonof entraine AC parce que l'espace suivant est un produit adéquate, donc quasicompact: $A$ est un ensemble d'ensemble non vides. $b\notin Union(A)$, $p: X\in A\mapsto X\cup \{b\}$ et $E:=$ l'espace des $g$ telles que $\forall x\in A: g(x) \in p(x)$, ses ouverts étant l'ensemble engendré par les $U_x:=\{g\in E\mid g(x)\neq b\}$

    Zorn => AC parce qu'une fonction partielle choix maximal est une fonction totale

    Krull, je l'ai fait cet été (ou l'été d'avant, je ne sais plus) sur le forum. Ce n'était pas très dur, mais tout de même plus long que les trucs qui précèdent.

    La maximalité de Haussdorf, je ne sais pas ce que c'est mais Max, qui la signale, précisera vite je pense.

    Bases =>AC, je l'ai fait il y a quelques années sur le forum (3ans?), l'idée est simple, mais la rédaction est "un peu" longue.

    Zermelo =>AC est évident par "définition"

    Dans TOUS LES cas précédents, le fait que AC=> truc est certes ultra remâché, mais en général, "froidement" long et à rédiger et à transmettre aux gens n'ayant pas "un gout typique" pour l'infini et le notationnel.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Maxtimax : Merci pour ces précisions. Je savais qu'il y avait une embrouille mais je n'arrivais pas à mettre le doigt dessus.

    @Christophe : Je suis d'accord avec ton histoire de métropole, mais pour les réciproques ce qui me gêne c'est que je n'ai pas toujours l'idée qui permet de conclure en 2 lignes.
    Pour exemple, il y a quelques années je ne savais démontrer que merdiquement que "de 2 ensembles, l'un s'injecte toujours dans l'autre" implique AC.
    Je me disais : Soit X un ensemble. Bon, ce n'est pas possible que tous les ordinaux s'injectent dans X, donc soit $\alpha$ un ordinal qui ne s'injecte pas dans X. Alors X s'injecte dans $\alpha$ et hérite de son bon ordre.
    Mais je ne savais pas démontrer proprement qu'il est impossible que tous les ordinaux s'injectent dans X... et c'est toi qui m'a filé la combine, à laquelle je n'aurais jamais pensé.
    (Si tu te souviens de cette conversation je te paye l'apéro, pas plus tard que samedi prochain).
  • Christophe : le principe de maximalité de Hausdorff c'est vraiment quasiment une reformulation d'AC, voir ici par exemple. Je le signale parce que je me souviens que l'un de mes premiers exos de prépa était de prouver son équivalence avec l'axiome du choix :-D
    Par ailleurs Bases => AC c'est franchement non trivial de mon souvenir, surtout en spécialisant $k=\mathbb{F}_2$. Dans mon souvenir, ça fait intervenir le principe des choix multiples...
  • De mon téléphone: merci pour l'info Max. Je ne parlais pas de le faire avec F2 (je ne sais d'ailleurs pas le faire la de tête et comme je cours d'autres lièvres et surtout captain Marvel maintenant que je suis à Paris avec ma carte :-D )

    Par contre sans rien imposer dur le corps je ne dis pas que c'est très court mais qu'il n'y a pas besoin "d'inspiration" . Je n'ai pas mesuré mais "objectivement" je dirais que même si "le même plaisir n'y est pas" c'est "bien plus prouvable formellement que AC => Zermelo" (je parle bien pour quelqu'un qui ne CONNAIT PAS LES ORDINAUX ). Idem pour Zorn.

    @Martial : ça me dit vaguement quelque chose. Mais je ne mentirai pas. C'est vague.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • AC est équivalent au (trop méconnu) lemme de Teichmüller-Tukey présenté en bleu ci-dessous:
    Soit $E$ un ensemble. Une partie $\Phi$ de $\mathcal P(E)$ est dite de caractère fini si pour tout $G\in \mathcal P(E)$, $G \in \Phi$ si et seulement si toute partie finie de $G$ appartient à $\Phi$.

    Exemples:
    1°) $E$ est un espace vectoriel (ou même un module...) et $\Phi$ l'ensemble de ses parties libres)
    2°) $E$ est un ensemble d'énoncés logiques, $P \in E$ et $\Phi$ l'ensemble des parties de $E$ ne démontrant pas $P$.

    On laisse au lecteur le soin de trouver d'autres exemples.

    L'énoncé suivant est équivalent à l'axiome du choix:
    Pour tout ensemble $F$, toute partie $\Psi$ de $\mathcal P(E)$ de caractère fini et tout $X \in \Psi$, il existe $Y\in \Psi$ tel que $X\subset Y$ et $Y$ est maximal pour l'inclusion.


    Les implications suivantes sont des quasi-trivialités (exo ...)
    Zorn => l'énoncé bleu => le lemme maximal de Hausdorff => Zorn.

    [size=x-small]pour l'anecdote le cas particulier du lemme de Teichmüller-Tukey lorsque $E$ est de plus supposé dénombrable est un théorème intuitionniste ce qui est tout de même surprenant pour un résultat dont le cas général entraîne tout AC.[/size]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • NB: la maximalité de Hausdorff dont parle Maxtimax est l'énoncé qui dit que dans tout ensemble ordonné il existe un sous-ensemble totalement ordonné, maximal pour l'inclusion.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • foys a écrit:
    pour l'anecdote le cas particulier du lemme de Teichmüller-Tukey lorsque E est de plus supposé dénombrable est un théorème intuitionniste ce qui est tout de même surprenant pour un résultat dont le cas général entraîne tout AC.

    Ca méritait des caractères de bonne taille, non? Je crois que tu en avais donné une preuve intuitionniste sur le forum. Mais je n'ai pas l'impression d'être entré dans les détails, car je me rappelle vaguement que je t'avais répondu "attention, à quel niveau on descend dans les admis non intuitionnistes? " (je rappelle qu'en "tout intuitionniste", il n'y a plus d'ensembles finis, donc plus de sens bien clair pour des énoncés qui en parlent, 2 ne peut pas être prouvé bien ordonné par exemple, et je parle bien de $\{x\mid x=0\ OU\ x=1\}$ et pas de $P(1)$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci foys (oui j'avais lu le lien de max)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • C'est faisable en COQ avec reformulation adaptée.
    On peut prendre comme définition de l'ensemble des parties finies d'un ensemble $E$ donné l'intersection des $\mathcal X\in \mathcal P(E)$ tels que $\emptyset \in \mathcal X$ et tels que pour tout $u\in E$ et $F\in \mathcal X$, $\{u\} \cup F \in \mathcal X$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci foys
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • senpai a écrit:
    Par contre Pablo ta proposition résulte simplement de la structure d'espace métrique de R non ?

    Voici où on utilise l'axiome du choix lorsqu'on cherche à établir la proposition que je t'ai suggérée.
    $\ \mathbb{R} $ est à base dénombrable.
    Par contraposée :
    Si $ f $ est discontinue en $ a $, alors : $\ \exists V \in \upsilon(f(a)) \quad : \quad f^{-1}(V) \not \in \upsilon(a) $
    Soit $\ (V_{n})_{n \geq 0} $ un système fondamental de voisinages de $\ a $.
    Et c'est là qu'intervient la fonction de choix $\ c $ :
    $\ \exists c ,\ \mathcal{P}\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ telle que : $\ c(V_{n} \backslash f^{-1}(V) ) \in V_{n} \backslash f^{-1}(V) $ pour tout $ n \geq 0 $.
    On pose : $\ x_{n} = c(V_{n} \backslash f^{-1}(V) ) $
    Et comme ça on obtient une suite $\ (x_{n})_{n \geq 0} $ d'elements de $\ \mathbb{R} $ qui : $\ \forall n \ : \ x_{n} \in V_{n} \ \wedge \ f(x_{n}) \not \in V $
    i.e :
    $\ x_{n} \longrightarrow a \ \wedge \ f(x_{n}) \not \longrightarrow f(a) .$
  • @max pourrais tu me remettre un lien pour AC impliqué par F2 bases? Merci bcp par avance.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christophe : voir ici par exemple (en fait l'implication est même prouvée dans une théorie plus faible que ZF, WZF, qui apparemment ne contient ni axiome de fondation, ni full axiome d'extensionnalité)
    (pour lire l'article, cliquer sur full-text-pdf, puis sur pdf)
  • Grand merci à toi Max, en espérant que ça ne t'a pas pris trop de temps. J'ai enregistré le pdf et le lirai avec grand soin, car semble en émerger un phénomène de réflexion (au sens miroir) particulièrement présent dans une partie des maths, mais généralement finitistes.

    1/ la distinction pair/impair qui est importante, voire cruciale.

    2/ Exemple d'astuce (qui n'a rien à voir, mais qui interroge): pour prouver l'indécidabilité du problème du mot de Post ou encore pour prouver qu'il est indécidable de savoir quand 2 grammaires algébriques fabriquent au moins un même mot, on a à chaque fois recours à elle. On a deux ensembles de suites finies $A,B$ et c'est LEUR INTERSECTION qui donne la bombe nucléaire. Cela provient généralement de ce que :

    $A$ est l'ensemble des suites $u$ telles que pour tout $n$, les couples de la forme $(u(2n), u(2n+1))$ sont OK
    $B$ est l'ensemble des suites $u$ telles que pour tout $n$, les couples de la forme $(u(2n+1), u(2n+2))$ sont OK

    Et ce qu'on voulait ce sont les suites telles que pour tout entier n: $(u_n, u_{n+1})$ est OK.

    Autrement dit, il est (peut-être!!) rigolo de retrouver la "puissant système ZFC" entravé par "ce détail finitiste", au point de produire des théorèmes bancales ne pouvant "surmonter" cette histoire. On touche aux atomes du langage.

    Finalement, mon parcours en diagonale du doc m'amène à une question: est-il évident que (le corps étant toujours F2), le fait que "tout sous-espace admet un supplémentaire" + "tout ev admet une base" entraine "Dans tout ev, toute famille génératrice contient une base".

    J'ai peut-être trop vite parcouru, mais on dirait que les auteurs considèrent ça comme tellement trivial qu'ils n'en parlent même pas.

    Un grand merci à nouveau.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Pour ta dernière question, j'avoue n'avoir jamais lu le doc en question (même si je l'avais aperçu à plusieurs reprises, jamais eu le courage de le lire :-D ), donc je ne sais pas si les auteurs l'utilisent; mais ça ne parait pas ultra trivial.
  • Clairement à aucun moment les auteurs ne semblent parler de "il existe une base". C'est toujours "dans tout ... il existe une sous-base".

    Mais idem, je ne l'ai pas décortiqué en détails (même si bien parcouru).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Ah bah oui mince j'avais mal lu ! C'est entièrement ma faute, désolé !
  • Martial a écrit:
    quels que soient 2 ensembles A et B, il existe au moins une injection de l'un dans l'autre.

    Quelle est la réciproque s'il te plaît ?

    Pierre
  • @Pierre : on s'est mal compris.
    Ce que je voulais dire c'est que c'est bien connu que AC implique "quels que soient 2 ensembles A et B, il existe au moins une injection de l'un dans l'autre".

    Et ce que j'appelle la réciproque c'est le théorème qui dit que si l'énoncé "quels que soient 2 ensembles A et B, il existe au moins une injection de l'un dans l'autre" est vrai, alors l'axiome du choix l'est aussi.

    Donc, par contraposée, si AC est faux, il existe 2 ensembles A et B tels que A ne s'injecte pas dans B et B ne s'injecte pas dans A.
    Et c'est cette bizarrerie qui me fait le plus pencher du côté de AC.
  • D'accord, merci beaucoup. C'est en effet très convaincant écrit comme cela.

    As-tu des références (sur Internet par exemple) sur l'énoncé de ton théorème ?

    Pierre
  • De mon téléphone: c'est juste une base donc pas évident de trouver "références" à part un cours d'introduction à la tde.

    Il y a un sens évident. Si K est un ordinal assez grand il ne peut y avoir d'injection de K dans E. Donc même l'énoncé plus faible disant "il y a alors une surjection de K sur E" te met un bon ordre sur E (ceci valant pour tout E, tu as AC)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Mince.

    J’avais en tête que la proposition de Pablo se démontrait facilement en L1 sans avoir caché sous le tapis qu’on utilisa l’axiome du choix. Quand je dis « facilement » j’entends qu’on écrit les définitions de continuité (epsilon-delta), de convergence d’une suite (epsilon).

    J’avoue ne pas avoir compris sa/ta démonstration, Pablo.

    Éventuellement je reviendrais pour poster une preuve (là je suis de tête et les détails sont peut-être diaboliques).
  • Dom : les détails sont diaboliques en effet :-D Tu ne pourras pas le prouver sans faire appel à l'axiome du choix dénombrable (ou en tout cas à un axiome extra-ZF). Par contre, comme je l'ai mentionné, si tu veux prouver que "$f$ est continue si et seulement si elle est continue séquentiellement", alors là tu peux t'en sortir dans ZF, mais c'est plus subtil (je n'ai plus la preuve en tête, elle utilise intelligemment $\mathbb{Q}$, et en fait se reproduit dans n'importe quel espace métrique séparable si mes souvenirs sont bons)
  • @Pierre : je te joins une démonstration du théorème dont on causait et de sa réciproque, en espérant qu'elle est compréhensible.
    Merci à tous de me signaler toute coquille éventuelle.
  • Martial : Je me permets de te faire remarquer la chose suivante, par rapport à ton lemme 1 : "tout ordinal s'injecte dans $X$" ne te donne pas tes $j_\alpha$, tu utilises là une version très très forte de l'axiome du choix pour obtenir tes $j_\alpha$ (passer de "pour tout $\alpha$, il existe $j$ " à "j'ai une fonctionnelle qui associe à chaque ordinal une injection" c'est pas rien)
    Si tu y réfléchis tu pourras t'en sortir sans ça; si tu n'y arrives pas je pourrai t'aider. Il faut se rendre compte que moralement tu ne fais rien de plus que recréer les $\alpha$ dans $X$.
  • @Max : je comprends ton argument mais je ne vois pas bien où j'utilise une telle fonctionnelle.
    (Bon, je suis un peu fatigué, et j'ai peut-être mal compris les explications de Christophe à l'époque).
    Peut-être faut-il y incruster une induction transfinie ? Je ne sais pas, je vais y réfléchir.
    Mais je suis d'accord que ma preuve du point 2 implique 1 est plus "morale" que ZF-ienne.
    Affaire à suivre, donc.
  • Bah tu définis une injection de $On$ dans machin à coup de récurrence transfinie : il te faut une définition de $j_\alpha$. Dans l'état, ta preuve est comme la suivante de AC : si pour tout $i$, $X_i$ est non vide, soit $x_i\in X_i$ . Donc $(x_i)_{i\in I}$ est une fonction de choix; sauf qu'en plus $I=On$.
    Il vaut mieux aller dans l'autre sens en fait
  • Purée, j'ai du mal avec ces trucs.
    Plus je vieillis et plus je me dis que je suis davantage fait pour Morse-Kelley que pour ZFC.
    A vrai dire ça me fait ch... ces histoires de fonctionnelles qu'on crée artificiellement pour pallier à la non-existence de VRAIES CLASSES.
    A vrai dire, s'il n'y avait pas ce problème que MK marche moins bien avec les grands cardinaux que ZFC (disons en gros à partir des inaccessibles, ce qui est quand même le tout bas de la hiérarchie), je crois que je me serais déjà converti.
  • "Il vaut mieux aller dans l'autre sens en fait"
    Je n'ai pas compris cette phrase.
    Sorry
  • Il vaut mieux exhiber une surjection ici qu'une injection, de toute façonc'est de surjections que parle le remplacement
  • @Max : C'est bon, maintenant j'ai compris.
    Mais je ne vois absolument pas comment fabriquer une surjection de X sur ON, ou de P(X) sur ON, ou de P(P(X)) sur ON etc.
    Ça me paraît un travail impossible, dans la mesure où on connaît bien les ordinaux mais qu'on ne sait rien sur X.
    Peux-tu me donner l'ombre d'un début de piste de réflexion ?
    Merci d'avance
    Martial
  • Oui bien sûr : combien y a-t-il de couples $(F, <)$ tels que $F\subset X$ et $<$ est un bon ordre ?
  • Je dirais a priori qu'il y en a autant que d'ordinaux.
    Mais il faudrait le démontrer proprement, et ensuite l'utiliser proprement pour en déduire l'existence de la surjection.
    La deuxième partie me paraît faisable, on doit pouvoir en déduire une surjection de P^4(X) ou de P^5(X) sur ON, mais la première me pose problème, surtout du fait que je n'ai pas le droit de nommer les injections de alpha dans X...
  • Certes, mais pour le coup tu as bien une fonctionnelle qui envoie chaque ensemble bien ordonné $(F,<)$ sur un ordinal. Si chaque ordinal s'injecte dans $X$...
  • Ouais, je crois que ce coup-là j'ai compris.
    Je te joins la démonstration rerédigée.
    S'il n'y a pas de nouvelle embrouille, je me coucherai moins con ce soir que je ne me suis levé ce matin… mais j'avoue que je n'y serais probablement jamais arrivé tout seul.
  • Pas de nouvelle embrouille, c'est bien ça ! et puis tu vois ça te facilite la vie, t'as pas besoin de récurrence transfinie, et tu appliques directement une instance du schéma de remplacement
  • Merci, Max.
    Tu m'as aidé à saisir une subtilité qui m'avait échappée jusqu'à présent.
    Rassure-toi, il en reste encore beaucoup, tu n'es pas à la veille d'être au chômage technique avec moi...
  • @max, bon de toute façon, je vais devoir partir du bahut (donc déconnexion), mais cela fait deux fois que je vois évoqué par toi deux énoncés. Je ne comprends pas du tout desquels tu parles. Tu évoques un n'ayant pas besoin de AC et un autre ayant. Peux-tu être "ultraformel" (je ne ne dis pas qu'en relisant tout le fil je ne pourrais pas finir par voir de quoi tu parles, mais autant que je lise de mon téléphone).

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1780190,1786066#msg-1786066
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Christophe : yep, si tu parles de ceux dont tu donnes le lien, voici (je précise avant tout que je ne suis plus sûr, ça vient de mes souvenirs du livre Axiom of choice de H. Herrlich, que je n'ai pas à portée de main) :

    Enoncé 1, "continuité séquentielle en $a$ implique continuité en $a$" : Soit $X,Y$ des espaces métriques, $f:X\to Y$ une application, et $a\in X$. Si pour toute suite $x_n \to a$ dans $X$, $f(x_n) \to f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.

    Même spécialisé avec $X=Y=\R$, cela ne se démontre pas dans ZF si mes souvenirs sont bons.

    Enoncé 2, "continuité séquentielle globale implique continuité globale" (ici je spécialise à $X=Y=\R$ mais il me semble que c'est bon dès que $X$ est séparable) : Soit $f:\R\to \R$ une application telle que pour toute suite convergente $(x_n)$, $(f(x_n))$ converge. Alors $f$ est continue.

    (Remarque : la condition que j'ai donnée est pareil que "pour tout $a$ et tout $x_n\to a$, $f(x_n)\to f(a)$")

    Celui-ci se prouve dans ZF, à nouveau si mes souvenirs sont bons.
  • Quelle rapidité, merci!!!!!!!!! Je n'ai pas même pas encore eu le temps de me déconnecter. C'est maintenant parfaitement clair pour moi, je vais y réfléchir.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @max: tu avais l'air de parler de résultats "subtiles" mais pour toi les 2 sont triviaux. Enfin sauf celui disant qu'on OBLIGE d'user d'AC Pour blabla.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Comment ça pour moi les deux sont triviaux ? Le deuxième est relativement subtil il me semble, puisque tu ne peux pas faire la preuve naïve et qu'il faut utiliser $\Q$ à un moment et qu'on ne peut pas juste tester la continuité point par point bêtement. Ou bien il y a quelque chose que je ne vois pas...

    EDIT : voir par exemple la discussion ici
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