Isomorphisme

Bonsoir,
j'ai trouvé l'écriture suivante dans une démonstration et je ne l'ai pas comprise.

On a A/B isomorphe à C
Si B=0 alors A est égale à C

1) Comment distinguer si deux choses sont isomorphes ou égales ?
2) Est-ce qu'on divise par {0} ?

Réponses

  • Quotienter, ce n'est pas pareil que diviser. Quotienter par $\{0\}$, cela ressemble un peu à diviser par $1$ (le nombre d'éléments...) mais pas du tout à diviser par $0$.

    Dans un groupe abélien ou un anneau (il faut bien avoir un $0$, hein ?), la congruence modulo $\{0\}$, c'est la relation définie par : $x\sim y$ si $x-y=0$, c'est-à-dire que c'est l'égalité. Les classes d'équivalences sont les singletons. Le quotient est donc l'ensemble des singletons $\{x\}$ lorsque $x$ parcourt $A$. On peut finasser et penser que cela n'a rien à voir avec $A$... c'est quand même s'embêter plus qu'il n'est raisonnable.

    Tu peux retenir : $A/\{0\}$ est égal à $A/{=}$ et $A/{=}$ s'identifie canoniquement à $A$ (il suffit d'identifier l'élément $\{x\}$ de $A/{=}$ à l'élément $x$ de $A$).

    Edit : rectification des espaces autour des égalités conformément à la remarque ci-dessous.
  • $A/{=}$, c'est plus joli que $A/=$.
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