Équation avec des polynômes trigonométriques

On cherche les polynômes trigonométriques P et Q à coefficients réels qui vérifient sur R la relation
(P(x))² + (Q(x))² = 1.
J'ai l'impression que l'on doit trouver (au signe près) les fonctions x->cos(nx+a) et x->sin(nx+a), n étant un entier et a un réel. Mais je manque d' idée. J'ai essayé d'utiliser le théorème du relèvement pour l'application x->P(x)+iQ(x) mais sans résultat. J'ai aussi pensé à prolonger la relation dans le champ complexe.
Si quelqu'un a une idée. Merci d'avance.

Réponses

  • $$P=\sum_{-N}^Na_ne^{inx},\ Q=\sum_{-M}^Mb_ne^{inx}$$avec $a_N=\overline {a_{-N}}\neq 0$ et $b_M=\overline {b_{-M}}\neq 0.$ Si $N=0$, alors $P$ et $Q$ sont constants. Si $N\geq M$ (sans perte de generalite) alors $a^2_N+b^2_N=0$ et donc $N=M.$ Donc $a_N=re^{ic},$ $b_N=\pm ire^{ic}$ ce qui conduit a ecrire
    $$P=P_1+r\cos (Nx+c),\ Q=Q_1+r\sin (Nx+c)$$ ou le spectre des $P_1$ et $Q_1$ est dans $\{-(N-1),\ldots,N-1\}$. Alors


    $$P_1^2+Q_1^2+2r(P_1\cos (Nx+c)+Q_1\sin (Nx+c)=1-r^2.$$ On recommence et discutant les termes de $P_1$ et $Q_1$ avec le terme le plus grand. On devrait arriver a $P_1=Q_1=1-r^2=0.$ Il est tres tard, je n'ai pas plus joli a proposer.
  • Bonjour et merci pour la réponse.Je m'étais focalisé sur une preuve "en force" en utilisant de l'analyse.Je vais regarder dans ce sens. Bonne journée.
  • Soit $f(x)=P(x)+iQ(x)$. On écrit $f(x)$ sous la forme $f(x)=\sum_n c_n e^{inx}$. On a $1=f(x)\overline{f(x)}=\sum_{n,m}c_n\overline{c_m}e^{i(n-m)x}$, donc $\sum_n|c_n|^2=1$ et de plus, si $j$ est le plus petit indice tel que $c_j\ne 0$ et $k$ le plus grand indice tel que $c_k\ne 0$, alors si $j\ne k$, en regardant le coefficient de $e^{i(k-j)}$ on trouve que $c_k\overline{c_j}=0$, ce qui est impossible. Donc il existe $c$ de module $1$ et $n\in \Z$ tel que $P(x)+iQ(x)=ce^{inx}$. En écrivant $c=e^{i\theta}$, on obtient $P(x)=\cos(nx+\theta)$ et $Q(x)=\sin(nx+\theta)$.
  • Ah, la classe.
  • Merci pour cette preuve limpide.
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