Calculer une intégrale

laribi

Bonjour à tous, j'ai besoin votre aide pour calculer cette integrale. $$

\int_{x}^{\infty} z^{ak} \exp(-z k) \left( \int_{z}^{\infty}y^{a-1}\exp(-y) dy \right)^{n-r-k}\ dz,
$$ où $ 0\leq k \leq n-r, \quad k\in \mathbb{N}$ et $ a>0.$

Merci d'avance.

Poirot

Si $a$ n'est pas entier, aucune chance que ce soit calculable.

laribi

a n'est pas entier a>0. mais pourquoi??

Poirot

Je te souhaite bien du courage si tu veux calculer $$\int_{z}^{\infty}y^{a-1}\exp(-y) dy.$$ Et même si $n-r-k=1$, il ne s'agit pas d'une primitive de $z \mapsto z^{ak} \exp(-zk)$, donc pas de simplification par changement de variable ou chose du genre à l'horizon.

Au passage, $n$ et $r$ ne servent à rien dans ta question, seul $n-r$ intervient.

Si $a$ est entier, c'est fastidieux mais calculable, l'intégrale à l'intérieur se traite par IPP successives qui te donnent des termes de la forme $cz^l e^{-hz}$ avec $c, l$ et $h$ entiers, puis tu peux calculer individuellement chaque intégrale qu'il te reste.

laribi

l'integrale $$

\int_{z}^{\infty}y^{a-1}\exp(-y) dy=\Gamma(a,z)

$$ Je n'ai besoin pas du calculer c'est la fonction gamma incomplète, mais je suis intéressée par le valeur de l'autre au début, merci pour votre aide.

Poirot

Ce n'est pas parce que tu donnes un nom à l'intégrale à l'intérieur que tu sauras calculer l'intégrale principale.